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COURBE DE HILBERT 3D

Voir des vues stéréoscopiques de cette courbe sur cette page d'Alain Esculier.

La courbe de Hilbert 3D, généralisation de la courbe de Hilbert 2D, est une courbe de type Peano remplissant le cube [0, 1]3, définie par l'algorithme :

1) Partager [0, 1]3 en 8 "petits" cubes "égaux" ; numéroter chacun de ces cubes de 1 à 8 de sorte que deux cubes successifs se touchent par une face.

2) Partager chacun de ces carrés en 8 "micro" cubes "égaux" ; numéroter chacun de ces cubes de sorte que deux micro cubes successifs se touchent par une face, le premier micro-cube d'un petit cube devant avoir un côté en commun avec le dernier micro-cube du petit cube précédent et le dernier micro-cube devant toucher par une face le petit cube suivant.

3) Recommencer ce processus à l'infini.
 

A l'étape n, on obtient donc une suite de 8n  cubes  de côté , deux cubes successifs se touchant par une face, recouvrant successivement les cubes .

La courbe de Hilbert 3D approchée d'ordre n est alors la ligne brisée joignant les centres successifs de ces cubes (en rouge ci-dessus).
Si t appartient à [0,1[ , posons  (où [ t] désigne la partie entière de t). Les , pour t fixé, forment une suite de carrés (compacts) emboîtés dont l’aire tend vers 0 ; leur intersection est donc réduite à un point , point courant de la courbe de Hilbert 3D.

On démontre que la courbe est continue et que sa trajectoire est dense dans le cube, donc égale à ce cube.

Définition par AFC :

Étant donné un cube  (dont les sommets sont ici les points de coordonnées ), la courbe de Hilbert est la courbe limite associée à la famille des 8 similitudes de rapport absolu 1/2 :
 
 
similitude n° 3 6 1 2 7 8  4 5
centre (-1,-1,1) (-1,1,1) (1,-1,-1) (1,-1,1) (1,1,1) (1,1,-1) (-3/7,-5/7,-1/7) (-3/7,5/7,-1/7)
axe dirigé par     (0,1,-1) (1,1,0) (1,-1,0) (0,1,1) (-1,-1,1) (1,-1,-1)
angle 0 0 p p p p  2p/3  2p/3 
rapport 1/2 1/2 -1/2 -1/2 -1/2 -1/2 1/2 1/2

formée de 2 homothéties, 4 homothéties-réflexions et deux similitudes directes d'angle 2p/3 dont le cube plein est l'attracteur.

En prenant comme courbe de départ :, les courbes itérées sont les courbes de Hilbert 3D approchées ci-dessus :

Nota : il existe 3 autres motifs continus similaires à . Il existe donc 48 facons différentes de remplir les 8 cubes de l'étape 2. On verra sur cette page, superbement représentés, divers exemples de ces variantes.
 
 
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© Robert FERRÉOL  2014