Pavage polyédrique

PAVAGE POLYÉDRIQUE
Polyhedral tiling or tessellation (or honeycomb), Raumfüllung mit Polyedern

Un pavage polyédrique, ou "nid d'abeilles" est un ensemble de polyèdres pleins dont la réunion est égale à l'espace tout entier et qui ne s'intersectent que sur leur frontière. Il est dit bord à bord (en anglais : face to face) si les polyèdres qui ont une intersection non vide s'intersectent suivant exactement une face : c'est alors l'équivalent non borné d'un polytope 4D.
On peut définir alors un pavage polyédrique dual en choisissant un sommet à l'intérieur de chaque pavé, et en joignant par une arête deux sommets appartenant à deux faces contiguës.
Lorsque les pavés sont inscriptibles, le sommet du dual choisi est le centre de la sphère circonscrite, de sorte que les arêtes du dual sont orthogonales aux faces du pavage de départ.

PAVAGES RÉGULIERS
Un pavage polyédrique est dit régulier s'il est bord à bord et que tous ses pavés sont des polyèdres réguliers de même type.
A similitudes près, il en existe un seul, celui qui est constitué de cubes.

PAVAGES SEMI-RÉGULIERS
Un pavage polyédrique est dit semi-régulier s'il est bord à bord, que tous ses pavés sont des polyèdres réguliers, et que tous ses sommets sont identiques (en ce sens que les pavés arrivant à ces sommets sont disposés exactement de la même facon).

A similitudes près, et excepté le pavage par des cubes, il n'en existe qu'un, celui formé par des octaèdres et des tétraèdres réguliers.
A chaque arête aboutit deux tétraèdres et deux octaèdres.

Le pavage octaédro-tétraédrique (tétraèdres manquants à gauche, octaèdre manquant à droite)

PAVAGES UNIFORMES
Mêmes conditions que précédemment, mais on accepte commes pavés tous les polyèdres semi-réguliers, de première ou de deuxième espèce.
Voir ce site et ces animations.

PAVAGES SEMI-RÉGULIERS DE DEUXIÈME ESPÈCE

Un pavage polyédrique est dit semi-régulier de deuxième espèce s'il est à bord à bord, que tous ses pavés sont isométriques entre eux, et que toutes les figures formées par les arêtes arrivant à un même sommet sont isométriques entre elles.

A similitudes près, et excepté le pavage cubique, il n'en existe qu'un, dual du précédent, le pavage par des dodécaèdres rhombiques.

Voir aussi les paralléloèdres (polyèdres pavant l'espace par translation), et les pavages par des polytopes.

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