Polyèdre de Szilassi

POLYÈDRE DE SZILASSI
Szillassi's polyhedron, Szillassisches Polyeder

Lajos Szilassi (1942 - ) : Mathématicien hongrois.
Polyèdre découvert en 1977.
Patron réalisé par Jean-Jacques Dupas.

Le polyèdre de Szillassi est un polyèdre à 7 faces (heptaèdre), 14 sommets et 21 arêtes, de genre 1 (ou torique, i.e. dont la surface est homéomorphe au tore) tel que chaque face a une arête commune avec les 6 autres (autrement dit le graphe d'incidence des faces est complet).

Le nombre maximum de pays d'une carte tracée sur le tore telle que chaque pays a une frontière commune avec tous les autres étant égal à 7 : , le polyèdre de Szillassi répond donc à la question de trouver une version polyédrique d'une telle carte.

Remarque : ce polyèdre est combinatoirement régulier, en ce sens que toutes les faces ont le même nombre d'arêtes (6) et tous les sommets sont de même degré (3), mais les faces ne sont pas géométriquement régulières (pas même convexes).

Le polyèdre est formé de 3 paires de faces isométriques :
deux rouges,

deux bleues :

(formant en gros un tétraèdre), et deux jaunes :

, et d'une septième face (verte) :

Coordonnées de sommets et faces par Jean Lefort :
Sommets : a:=[-1.2,0,1.2]: b:=[1.2,0,1.2]: c:=[0,-1.26,-1.2]: d:=[0,1.26,-1.2]: e:=[0.2,-0.5,-0.8]: f:=[-0.2,0.5,-0.8]: g:=[-0.375,-0.375,-0.3]: h:=[0.375,0.375,-0.3]: i:=[0.45,-0.25,0.2]:j:=[-0.45,0.25,0.2]: k:=[-0.7,0,0.2]: l:=[0.7,0,0.2]: m:=[-0.7,-0.25,0.2]: n:=[0.7,0.25,0.2]:
Faces : p1:=[i,g,e,b,a,m]: p2:=[j,h,f,a,b,n]: q1:=[g,h,j,k,c,e]: q2:=[h,g,i,l,d,f]: r1:=[f,d,c,k,m,a]: r2:=[i,l,n,j,k,m]: s:=[c,e,b,n,l,d]:

Si F, S, A sont les nombres de faces, de sommets, et d'arêtes d'un polyèdre de genre n dont les sommets sont de degré 3 et dont toutes les faces touchent toutes les autres, on a les relations , dont on tire ; n = 0 donne F = 4 et la seule solution est le tétraèdre, n =1 donne F = 7 ce qui explique pourquoi le polyèdre de Szilassi possède 7 faces. La valeur suivante de n qui fournit un F entier est n = 6 qui donne F = 12. Il n'a pas encore été trouvé de dodécaèdre à 6 trous dont chaque face touche les 11 autres.

Le polyèdre de Csaszar est un dual (combinatoire) du polyèdre de Szilassi.

Anaglyphes du polyèdre de Szilassi réalisés par Alain Esculier (à regarder avec des lunettes rouge à gauche et cyan à droite)

polyèdre suivant polyèdre précédent courbes 2D courbes 3D surfaces fractals polyèdres