Zonogone

ZONOGONE
Zonogon

Notion étudiée par Fedorov en 1893.
Autre nom : zonagone.
Site :
gruze.org/tilings/ksk

Un zonogone est un polygone convexe ayant un centre de symétrie.
Il possède donc un nombre pair de côtés deux à deux parallèles et de même longueur.
Le zonogone est dit équilatéral si tous ses côtés sont de même longueur ; exemple : les polygones réguliers à nombre pair de côtés.

Si un polygone convexe a n = 2p sommets (dans cet ordre), c'est un zonogone ssi les p quadrilatères sont des parallélogrammes (indices comptés modulo p).
Si l'on contracte successivement (dans un ordre quelconque) ces p parallélogrammes, on obtient une succession de zonogones emboîtés dont le dernier est un point (voir ci-contre).
Inversement, tout zonogone plein est donc obtenu en partant d'un point par étirements successifs dans p directions différentes.
Autrement dit, les zonogones pleins à 2p sommets sont les sommes de Minkowski de p segments (non deux à deux parallèles) du plan, que nous désignerons par p-zonogone.

Si l'on attache, par translation, les p segments en un même point O et tous situés dans un même demi-plan limité par une droite passant par O (nommé l'étoile du zonogone) et que l'on effectue la somme des segments en tournant dans le sens trigonométrique (par exemple), on obtient la propriété de "dissection" suivante : tout p-zonogone (à n côtés) peut être pavé par parallélogrammes (qui sont des losanges si le zonogone est équilatéral), et il y a n dissections de ce type possibles.
Ceci vient de ce que tout p-zonogone plein est obtenu par translation d'un p–1-zonogone plein à 2(p–1) côtés, faisant apparaître p–1 nouveaux parallélogrammes.

En particulier, tout polygone régulier à n = 2p côtés se décompose en n(n–2)/8 losanges ; voir à rosace rhombique une autre méthode pour obtenir cette dissection.

Remarquons que les parallélogrammes d'une dissection sont ceux que l'on peut former en choisissant deux segments parmi les p segments de base (il y a en a bien ).
Le zonogone est alors recouvert par p zones (d'où son nom), joignant chaque côté au côté symétrique, formées chacunes des p–1 parallélogrammes dont deux côtés ont une direction donnée. Chaque parallélogramme est traversé par deux zones.
On peut étirer où contracter des zones (de sorte par exemple à rendre le zonogone équilatéral).
La contraction complète d'une zone donne un p–1 zonogone.
Deux 5-zonogones, l'un irrégulier, l'autre régulier, ayant 2p=10 côtés, pavés par p(p-1)/2=10 parallélogrmmes, formant p=5 zones formées chacune de p-1=4 parallélogrammes.

Les zonogones à 4 ou 6 côtés pavent le plan par translations et sont appelés des parallélogones.

Voir aussi les zonoèdres, qui sont les analogues 3D.

Si un polygone convexe a n = 2p sommets (dans cet ordre), c'est un zonogone ssi les p quadrilatères sont des parallélogrammes (indices comptés modulo p). Si l'on contracte successivement (dans un ordre quelconque) ces p parallélogrammes, on obtient une succession de zonogones emboîtés dont le dernier est un point (voir ci-contre). Inversement, tout zonogone plein est donc obtenu en partant d'un point par étirements successifs dans p directions différentes. Autrement dit, les zonogones pleins à 2p sommets sont les sommes de Minkowski de p segments (non deux à deux parallèles) du plan, que nous désignerons par p-zonogone.
Si l'on attache, par translation, les p segments en un même point O et tous situés dans un même demi-plan limité par une droite passant par O (nommé l'étoile du zonogone) et que l'on effectue la somme des segments en tournant dans le sens trigonométrique (par exemple), on obtient la propriété de "dissection" suivante : tout p-zonogone (à n côtés) peut être pavé par parallélogrammes (qui sont des losanges si le zonogone est équilatéral), et il y a n dissections de ce type possibles. Ceci vient de ce que tout p-zonogone plein est obtenu par translation d'un p–1-zonogone plein à 2(p–1) côtés, faisant apparaître p–1 nouveaux parallélogrammes.
En particulier, tout polygone régulier à n = 2p côtés se décompose en n(n–2)/8 losanges ; voir à rosace rhombique une autre méthode pour obtenir cette dissection.
Remarquons que les parallélogrammes d'une dissection sont ceux que l'on peut former en choisissant deux segments parmi les p segments de base (il y a en a bien ). Le zonogone est alors recouvert par p zones (d'où son nom), joignant chaque côté au côté symétrique, formées chacunes des p–1 parallélogrammes dont deux côtés ont une direction donnée. Chaque parallélogramme est traversé par deux zones. On peut étirer où contracter des zones (de sorte par exemple à rendre le zonogone équilatéral). La contraction complète d'une zone donne un p–1 zonogone.	Deux 5-zonogones, l'un irrégulier, l'autre régulier, ayant 2p=10 côtés, pavés par p(p-1)/2=10 parallélogrmmes, formant p=5 zones formées chacune de p-1=4 parallélogrammes.