Équation sphérique : , pour . Paramétrisation cartésienne : . Volume : . Attraction du solide homogène de masse volumique  et de masse M sur un point matériel de masse m placé en O : .

Etant donné un point matériel, la surface d'égale attraction est le lieu des points contribuant avec une même intensité donnée dans la force d'attraction (newtonienne) exercée sur le point matériel, force résultant des diverses forces d'attractions de la surface complète.

Démonstration : Si Oz est la direction de la force résultante, et le point matériel attiré placé en O, la composante de l'attraction d'un point de coordonnées sphériques  ( = longitude,  = latitude)  est proportionnelle à , d'où l'équation  de la surface.

C'est la surface de révolution obtenue par rotation d'une demi courbe du dipôle (ou courbe d'égale attraction) autour de son axe de symétrie.

On montre que le solide homogène de masse M tel que l'(intensité de la force d')attraction exercée sur un point matériel donné est maximale parmi tous les solides de masse M, ou solide d'attraction maximale, est le solide englobé par cette surface.
 
 

Comparaison entre l'attration de ce solide (Smax) et celle d'une sphère de même volume et densité :
Rayon de la boule sphérique de même volume que (Smax) : . Attraction de cette boule sur un point placé à sa surface : . Rapport des attractions :  : (Smax) l'emporte donc très légèrement....

 
 

Démonstration de la maximalité de ce solide, rédigée par Bertrand en 1864 (voir ce livre page 430, et cf aussi ce livre page 45). L'attraction d'un corps sur un point matériel étant toujours, d'après ce qui précède, d'intensité finie, on peut chercher la forme d'un corps homogène de masse donnée, pour laquelle son attraction sur une molécule donnée sera la plus grande possible. Il est évident d'abord que la surface du corps attirant doit contenir la molécule attirée, car on pourrait sans cela détacher de cette masse un élément et le transporter au contact du point attiré, de manière que son action s'exerçât dans le sens même de la résultante de tous les autres en l'accroissant évidemment plus qu'il ne pourrait le faire dans sa position primitive. On aperçoit également que deux molécules de même masse, placées toutes deux à la surface du corps attirant, doivent exercer sur le point attiré des actions dont la composante, dans le sens de la résultante totale, ait la même valeur. S'il en était autrement, on pourrait accroître la résultante en enlevant la molécule correspondante à la moindre composante pour la transporter sur l'autre, sans changer ainsi la masse totale attirante. Le solide d'attraction maximale est donc limité par la surface d'égale attraction.

 

surface suivante

surface précédente

courbes 2D

courbes 3D

surfaces

fractals

polyèdres

© Robert FERRÉOL 2012