C'est une très bonne question, et je vous remercie encore moins (voir courbe) de me l'avoir posée…

Comme pour les courbes, on ne peut définir une surface de façon générale, mais seulement diverses facettes de cette notion. Nous ne nous occuperons ici que de la facette topologique.

Une surface topologique est un espace topologique localement homéomorphe au plan ou au demi-plan (i.e. dont tout point possède un voisinage homéomorphe à R²  ou ) ; c'est une variété topologique de dimension 2.

Les points ayant un voisinage homéomorphe au demi-plan forment le "bord" de la surface ; une surface sans bord est dite simple.

On démontre que toute surface simple connexe compacte (ou surface close) est homéomorphe, soit à une somme connexe de tores si elle est orientable, soit à une somme connexe de plan projectifs réels, sinon.

On classe aussi les surfaces à partir de leur géométrie :
    - euclidienne, si par un point passe une unique droite (=géodésique) parallèle à une droite donnée, comme le plan (on parle aussi de surface "plate")
    - sphérique, si par un point ne passe aucune droite parallèle à une droite donnée, comme la sphère
    - hyperbolique, si par un point passe une infinité de  droites parallèles à une droite donnée, comme l'hyperboloïde de révolution.

Les surfaces closes euclidiennes sont celles de courbure de Gauss moyenne nulle, donc, d'après la formule de Gauss-Bonnet, celles de caractéristique d'Euler-Poincaré nulle : soit le tore et la bouteille de Klein.

Les surfaces closes sphériques sont celles de courbure de Gauss moyenne > 0, donc, celles de caractéristique d'Euler-Poincaré > 0 : soit la sphère et le plan projectif.
Toutes les autres sont hyperboliques.

Voir aussi la notion de genre d'une surface.

Voir plus de détails sur :  http://www.math.ohio-state.edu/~fiedorow/math655/classification.html
 
 

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