Paramétrisation cartésienne : .

Les courbes de Lissajous 3D sont les trajectoires d'un point dans l’espace dont les composantes rectangulaires ont un mouvement sinusoïdal.
Les projections planes en sont les courbes de Lissajous 2D classiques.
 

Pour n = 1 ou n = m, on obtient une couronne sinusoïdale.

On obtient une courbe fermée si et seulement si n et m sont rationnels.
Lorsque la courbe n'a pas de point double, ni de rebroussement, elle forme un noeud dans l'espace, dit noeud de Lissajous.

On peut montrer que pour toutes valeurs rationnelles de n et m, il existe des valeurs de j et y telles que le noeud soit trivial, et que certains noeuds comme le noeud de trèfle ne sont pas des noeuds de Lissajous.

Les noeuds de Lissajous représentés ci-dessus ont pour paramétrisation : ,  et .
Le premier d'entre eux est le 11ème noeud premier, 4ème noeud à 7 croisements 7₄.

Et plus généralement, je conjecture que la courbe  est, pour n non multiple de 3 un noeud à 5n - 3 croisements avec alternance dessus-dessous.
Idem pour la courbe  pour n impair, qui serait un noeud à 3n - 2 croisements.

On trouve sur cette page une liste de noeuds de Lissajous remarquables ; la paramétrisation canonique utilisée dans cette liste est .
 

Voici un joli cas de noeud ouvert :  Il n'y a plus qu'à relier les extrémités pour obtenir un noeud de trèfle.

 
 

courbe suivante

courbe précédente

courbes 2D

courbes 3D

surfaces

fractals

polyèdres

© Robert FERRÉOL  2010