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COURBE DU BLANC-MANGER
Blancmange curve, Puddingkurve

Courbe étudiée par Takagi en 1903, et van Der Waerden en 1930.
Le blanc-manger est une espèce de pouding au lait d'amandes ; la forme de la courbe rappelle en effet un pouding retourné.

Autres noms : courbe de Takagi, courbe de van Der Waerden.

Nom anglais : blancmange curve (nom donné par John Mills) ;
Nota : il semble que les Américains nomment d'un nom français (blancmange) ce que les Français nomment d'un nom anglais (pouding) ; il eût donc peut-être mieux valu traduire "blancmange curve" par "courbe du pouding"...
 

Blancmange est aussi le nom d'un groupe britannique...

 


 
Équation cartésienne :  où d(x) est la distance de x à l'entier le plus proche.

La courbe du blanc-manger est la courbe de la fonction ci-dessus, introduite par Takagi pour donner un exemple de fonction continue dérivable en aucun point.

Ci-dessous à gauche les courbes des fonctions  dont la somme donne la fonction bl (à droite) :

 

Mais la relation  montre que la courbe du blanc-manger B (pour x entre 0 et 1) est l'attracteur de la famille des deux contractions affines f et g et  qui sont des composées de transvection avec une homothétie de rapport 1/2.
 
 

Vue montrant que 

Vue montrant que
on remarque que fg et gf sont des homothéties de rapport 1/4

La surface de translation engendrée par la translation d'une courbe du blanc-manger le long d'une autre, perpendiculaire à la première, d'équation , est une élégante montagne fractale dénommée "mont Takagi" :


 
 

Une variante : 


Une autre variante :
Une variante étonnante :  : on tombe sur une brave parabole y = 2 x (1- x) !
Ceci constitue donc une construction approchée simple de cette parabole.
Une variante arrondie :  avec .

Pour une autre courbe de fonction continue nulle part dérivable, voir la courbe de Bolzano.

Lire un intéressant article à :  www.warwick.ac.uk/staff/David.Tall/pdfs/dot2000f-blancmange-english.pdf
 
 


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© Robert FERRÉOL  2013