| Nom de l'attracteur |
famille des contractions |
dimension de similitude interne
de KF |
Code maple |
| segment [AB] |
2 homothéties de rapport
1/2 de centres A et B |
1 |
|
| ensemble
de Cantor d’extrémités A et B |
2 homothéties de rapport
1/3 de centres A et B |
 |
cantor:=proc(A,B,n)
if n=0 then [A,B] else
cantor(A, (2*A+B)/3, n-1),
cantor((A+2*B)/3, B, n-1) fi end: plot([cantor([0,0],[1,0],4)],axes=none,color=red); |
| escalier
du diable |
3 contractions affines |
1 |
escalier:=proc(a,b,c,d,n)
if n=0 then [a,b],[c,d] else
escalier(a, b, (2*a+c)/3, (b+d)/2, n-1),
escalier((2*a+c)/3, (b+d)/2, (a+2*c)/3, (b+d)/2, n-1),
escalier((a+2*c)/3, (b+d)/2, c, d, n-1) fi end:
plot([escalier(0,0,1,1,3)]); |
| courbe du
blanc-manger |
2 composées des homothéties de rapport
1/2 de centre A et B avec des transvections |
1 ? |
|
| courbe
de Koch |
4 similitudes de rapport 1/3 |
 |
koch:=proc(A,B,n)
if n=0 then A else
koch(A, (2*A+B)/3, n-1),
koch((2*A+B)/3, (A+B)/2+I*(B-A)/sqrt(3)/2 ,n-1),
koch((A+B)/2+I*(B-A)/sqrt(3)/2, (A+2*B)/3, n-1),
koch((A+2*B)/3, B, n-1) fi end:
complexplot([koch(0,1,4),1],axes=none,color=red,scaling=constrained); |
| ensemble unité |
2 similitudes directes de même rapport 
et même angle. |
 |
|
courbe du C |
2 similitudes directes de rapport 
d'angles p/4 et -p/4 |
2 ? |
c:=proc(A,B,n)
if n=0 then A else
c(A, (A+B)/2+I*(B-A)/2, n-1),
c((A+B)/2+I*(B-A)/2, B, n-1)
fi end:
complexplot([c(0,1,8),1],axes=none,color=red,scaling=constrained); |
| courbe
du dragon |
2 similitudes directes de rapport |
2 |
dragon:=proc(A,B,n)
if n=0 then [A,B] else C:=(A+B)/2+I*(B-A)/2:
dragon(A,C, n-1),
dragon(B,C, n-1) fi end:
plot(map(X ->map(z->[Re(z),Im(z)],X),[dragon(0,1,8)]),axes=none,scaling=constrained); |
| courbe du terdragon |
2 similitudes directes de rapport  |
|
m:=2*sqrt(3):
cterdragon:=proc(A,B,n)
if n=0 then [A,B] else C:=(A+B)/2+I*(B-A)/m:
cterdragon(A,C,n-1),
cterdragon(B,C,n-1) fi end:
plot(map(X ->map(z->[Re(z),Im(z)],X),[cterdragon(0,1,8)]),axes=none,scaling=constrained); |
| terdragon et terpapillon |
3 similitudes, directes pour le terdragon, indirectes
pour le terpapillon, de rapport |
2 |
m:=2*sqrt(3):
terpapillon:=proc(A,B,n,e)
if n=0 then [A,B] else C,D:=(A+B)/2+e*I*(B-A)/m,(A+B)/2-e*I*(B-A)/m:
terpapillon(A,C,n-1,-e),
terpapillon(C,D,n-1,-e),
terpapillon(D,B,n-1,-e) fi end:
plot(map(X ->map(z->[Re(z),Im(z)],X),[terpapillon(0,1,7,1)]),axes=none,color=red,scaling=constrained); |
| courbe
du dragon d'or |
2 similitudes de rapports r et r²
avec  . |
nombre d'or |
f:=(1+sqrt(5.))/2:r:=1/f^(1/f):c:=(1+r^2-r^4)/2/r:
dragonor:=proc(A,B,n)
if n=0 then [A,B] else C:=A+(B-A)*(c*r+sqrt(1-c^2)*r*I):
dragonor(A,C, n-1),
dragonor(B,C, n-1) fi end:
plot(map(X ->map(z ->[Re(z),Im(z)],X),[dragonor(0,1,15)]),axes=none,color=red,scaling=constrained); |
| triangle rectangle isocèle vu comme courbe
de Polya (2) |
2 similitudes indirectes de rapport |
2 |
polya:=proc(A,B,n,e)
if n=0 then [A,B] else C:=(A+B)/2+e*I*(B-A)/2:
polya(C,A, n-1,-e),
polya(C,B,n-1,-e)fi end:
plot(map(X ->map(z ->[Re(z),Im(z)],X),[polya(0,1,8,1)]),axes=none,scaling=constrained); |
| carré plein ABCD |
4 homothéties de rapport
1/2 de centres A, B, C, D |
2 |
|
| carré plein vu comme courbe
de Hilbert |
2 similitudes indirectes de rapport
1/2,
2 homothéties de rapport 1/2 |
2 |
hilbert:=proc(A,B,n,e)
if n=0 then (3*A+B)/4+e*I*(B-A)/4,(3*A+B)/4+3*e*I*(B-A)/4,(A+3*B)/4+3*I*e*(B-A)/4,(A+3*B)/4+e*I*(B-A)/4
else
hilbert(A,A+e*I*(B-A)/2,n-1,-e),
hilbert(A+e*I*(B-A)/2,(A+B)/2+e*I*(B-A)/2,n-1,e),
hilbert((A+B)/2+e*I*(B-A)/2,B+e*I*(B-A)/2,n-1,e),
hilbert(B+e*I*(B-A)/2,B,n-1,-e)
fi end:
plot(map(X ->map(z ->[Re(z),Im(z)],X),[hilbert(0,1,2,1)]),axes=none,color=red,scaling=constrained); |
| carré plein vu comme courbe
de Peano |
9 similitudes de rapport 1/3,
5 directes, 4 indirectes. |
2 |
peano:=proc(A,B,n)
if n=0 then [A,B] else
peano(A,(2*A+B)/3,n-1),peano((2*A+B)/3,(2*A+B)/3+I*(B-A)/3,n-1),
peano((2*A+B)/3+I*(B-A)/3,(A+2*B)/3+I*(B-A)/3,n-1),
peano((A+2*B)/3+I*(B-A)/3,(A+2*B)/3,n-1),peano((A+2*B)/3,(2*A+B)/3,n-1),
peano((2*A+B)/3,(2*A+B)/3-I*(B-A)/3,n-1),
peano((2*A+B)/3-I*(B-A)/3,(A+2*B)/3-I*(B-A)/3,n-1),
peano((A+2*B)/3-I*(B-A)/3,(A+2*B)/3,n-1),peano((A+2*B)/3,B,n-1)
fi end:
plot(map(y ->map(x ->[Re(x),Im(x)],y),[peano(0,1+I,2)]),axes=none,color=red,scaling=constrained); |
| carré plein vu comme courbe
de Sierpinski |
4 similitudes de rapport 1/2 |
2 |
|
courbe
du triangle de Sierpinski |
3 homothéties de rapport
1/2 de centres les sommets d'un triangle équilatéral |
 |
sierpinski:=proc(A,B,n)
if n=0 then [A,B] else
sierpinski((3*A+B)/4+I*(B-A)*sqrt(3)/4,A,n-1),
sierpinski((3*A+B)/4+I*(B-A)*sqrt(3)/4,(A+3*B)/4+I*(B-A)*sqrt(3)/4,n-1),
sierpinski(B,(A+3*B)/4+I*(B-A)*sqrt(3)/4,n-1)
fi end:
complexplot([sierpinski(0,1,6)],axes=none,color=red,scaling=constrained); |
tapis
de Sierpinski
Voir de nombreuses variantes sur cette
page |
8 homothéties de rapport
1/3 centrées aux sommets et au milieu des côtés d'un
carré |
 |
|
| île
de Gosper |
7 similitudes de rapport 1/Ö
7 |
2 |
|
| fougère
de Barnsley |
4 transformations affines |
? |
|
| cube plein |
8 homothéties de rapport 1/2 centrées aux
sommets du cube |
3 |
|
| éponge
de Menger |
20 homothéties de rapport 1/3 centrées
aux sommets et au milieu des arêtes d'un cube |
 |
|
,
une famille de contractions (c'est-à
dire vérifiant 
) d'un espace métrique complet E.
,
appelé attracteur (ou ensemble limite) de la famille 
: c’est le point fixe attractif de la fonction f définie
sur les compacts non vides de
E par 
.
Partant d'un compact quelconque
K0
, la récurrence 
fournit une suite de compacts qui converge au sens de la métrique
de Hausdorff vers A.
,
le nombre d défini par 
(qui vaut 
lorsque les similitudes sont toutes de rapports 
)
est appelé la dimension de similitude interne de A.