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Ensemble de Julia pour c = 0,251
Julia set, Juliasche Menge


Notion étudiée par Julia en 1918.
Gaston Julia (1893 - 1979) : mathématicien français.
Sites :
fr.wikipedia.org/wiki/Ensemble_de_Julia mieux, le site en anglais : en.wikipedia.org/wiki/Julia_set
maths.wikidot.com/mandelbrot-et-julia
josephv.test.free.fr/fractal/mandelbrot/JULIA-MANDELBROT.html
nylander.wordpress.com/category/fractals/
Excellent logiciel de tracé dû à Arnaud Chéritat utilisé pour les figures grises ci-dessous : www.math.univ-toulouse.fr/~cheritat/documents/DH_Drawer.zip

À toute fonction f entière du plan complexe dans lui-même et tout point de départ  est associée la suite  des itérés successifs de  par f.

Le plan est alors partagé entre l'ensemble des point  pour lesquels la suite  est bornée (les prisonniers de f), et les autres (les fugitifs).

L'ensemble de Julia  associé à f est alors la frontière commune de ces deux ensembles ; c'est, autrement dit, la ligne de démarcation entre les prisonniers et les fugitifs. Ses éléments sont les points tels qu'une infime variation fait complètement changer le comportement de la suite . Le complémentaire de  est appelé l'ensemble de Fatou de f.
L'ensemble des prisonniers est appelé l'ensemble de Julia rempli, noté .

Les ensembles de Julia classiques sont ceux associés aux fonctions  définies par . Notons que dans ce cas, lorsque la suite est non bornée, elle tend vers l'infini.
 
On montre que, dans ce dernier cas, si la suite  dépasse 2 en module, alors elle tend vers l'infini ; on en déduit que  est l'intersection des domaines Dn (limités par une courbe algébrique de degré 2n+1 ) définis par  est donc fermé et borné.
La figure de gauche montre, dans le cas c = -1, le tracé des courbes implicites  pour n = 0,1,2,3 ; malheureusement, à partir de n = 4, la courbe devient illisible.
La figure de droite, qui fait apparaître les 100 premiers domaines ci-dessus, a été obtenue comme suit : appelant "durée de vie" le premier entier n tel que  dépasse 2, on représente la vue de dessus de la surface associée à la fonction qui à  associe 1 si la durée de vie est paire, 0 sinon.
On obtient une meilleure vision de l'ensemble de Julia rempli en représentant la fonction qui à  associe sa durée de vie si celle-ci est inférieure à 100, et 100 sinon ; on obtient une surface que l'on pourrait désigner par "plateau de Julia"; ce plateau, représentant D100 et les contreforts qui y mènent, donne une bonne idée de l'ensemble de Julia rempli limite.
A droite on a représenté D100 seul. La partie grise donne une bonne idée de l'ensemble de Julia rempli, et sa frontière de celle de l'ensemble de Julia proprement dit.
Programme maple correspondant :
julia:= proc(x,y) local z, m,k ; z := evalf(x+I*y);
k:=100: for m to k while abs(z) < 2 do z := z^2+c od; m end:
plot3d('julia'(x,y),x=-2..2,y=-2..2,orientation=[-90,0], 
grid=[200,200], style=patchnogrid,  lightmodel=light2)
Une autre méthode très simple donnant rapidement une idée de l'ensemble de Julia est la méthode dite d'itération inverse. On montre en effet que l'ensemble de Julia est l'attracteur du système formé par les deux fonctions réciproques de  ; ce qui signifie que si un est un des 2n antécédents n-ième de 0 (par exemple) par  , la distance de un  à l'ensemble de Julia tend vers 0 ; en pratique on choisit au hasard pour un l'un des deux antécédents de un-1 .
L'affichage des 1000 premières valeurs de un donne une bonne idée de l'ensemble de Julia (en rouge ci-contre) ; programme Maple correspondant :
c:=-1.:a:=0:L:=a:alea:=rand(0..1):n:=2000:
to n do a:=evalf(sqrt(a-c))*(-1)^alea():L:=L,a end:
complexplot([L],style=point,symbol=point,
scaling=constrained,axes=none);
On constate qu' il 'y a malheureusement pas répartition uniforme des points ; l'image à droite, obtenue avec le logiciel d'Arnaud Chéritat a été tracé à l'aide d'une version optimisée de cet algorithme.

 
 
On montre que l'ensemble de Julia  est connexe ss'il contient 0, ce qui signifie que c est dans l'ensemble de Mandelbrot.
Des cas de connexité remarquables sont donc ceux où la suite  partant de 0 est périodique, ce qui s'obtient en résolvant . Les points c correspondants sont les "centres" des composantes hyperboliques de l'ensemble de Mandelbrot.

 
 
Cas c = 0, centre de la cardioïde de l'ensemble de Mandelbrot ; la suite  partant de 0 est constante. 
L'ensemble de Julia est le cercle de centre 0 et de rayon 1.

Cas c = -1 (centre de la composante rose ci-dessus) ; la suite  partant de 0 est 2-périodique. Surnom : la basilique.

Cas c = -1,7548... (solution réelle de c3+2c²+c+1=0) ; la suite  partant de 0 est 3-périodique. Surnom : l'avion.


Cas c = -0,122...+0,744... i. (solution non réelle de c3+2c²+c+1=0) ; la suite  partant de 0 est 3-périodique.
L'ensemble de Julia correspondant est dénommé "lapin de Douady".

Cas c = 0,28...+0,53...i.  et -0,15...+1.03... i (solutions non réelles de 1+2c^2+3c^3+3c^4+3c^5+c^6=0) ; la suite  partant de 0 est 4-périodique.

Cas c= -1,310..(solution réelle de 1+2c²+3c3+3c^4+3c^5+c^6=0) ; 
la suite  partant de 0 est 4-périodique.

L'intérieur de l'ensemble de Julia rempli est à la fois non vide et connexe ssi  possède un point fixe attractif ou indifférent, ce qui signifie que c se trouve dans la composante principale de l'ensemble de Mandelbrot (en forme de cardioïde) ou dans sa frontière. L'ensemble de Julia est alors la frontière du bassin d'attraction du point fixe attractif ou indifférent et c'est une courbe fermée simple (mais fractale, sauf pour c = 0), passant par l'autre point fixe, qui est répulsif.
Ci-dessous, quelques exemples où c se trouve sur la cardioïde, soit .
 

Cas t = 0, c = 1/4  (pointe de la cardioïde)
Surnom : le chou-fleur

Cas t = pi, c = -3/4 (sommet de la cardioïde)
L'ensemble de Julia correspondant est appelé fractal de San Marco.

Cas t = pi/3 et t = 2pi/3 ;  la deuxième valeur correspond exactement au point le plus haut de la cardioïde.

Cas t = pi(1 - sqrt(5)) ; l'ensemble de julia rempli est un disque de Siegel.

Ci-dessous, d'autres cas particuliers d'ensembles de Julia, où c, point de Misiurewicz, se trouve sur la frontière de l'ensemble de Mandelbrot ; l'ensemble de Julia, d'intérieur vide, est alors confondu avec l'ensemble de Julia rempli.
 

 Cas c= -2 (extrémité gauche de M) : la suite  partant de 0 est constante à partir de z2 ; l'ensemble de Julia est réduit au segment [-2 , 2 ] ; notons que la première équipotentielle est une lemniscate de Bernoulli.
Cas c = i : la suite  partant de 0 est 2-périodique à partir de z2 ; surnom : la dendrite.
Cas c= -0,101...+0.956...i, solution de c^7+4c^6+6c^5+6c^4+6c^3+4c^2+2c+2=0 ; la suite  partant de 0 est constante à partir de z4

Dernier cas : c est en dehors de l'ensemble de Mandelbrot ; dans ce cas, l'ensemble de Julia est non seulement non connexe, mais totalement discontinu (ses composantes connexes sont des points). Cependant, ses points ne sont pas isolés (c'est donc un espace de Cantor).
Il prend alors le nom de poussière de Fatou.
 

Cas  c = -0,63 +0,67

Cas = 0,35 + 0,05 i (légèrement à droite et au dessus de la pointe de la cardioïde)




Cas c = -0.76+0.12 i


 
 
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© Robert FERRÉOL 2011