COURBE DE PEANO
Peano's curve, peanosche Kurve
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COURBE DE PEANO
Peano's curve, peanosche Kurve
| Courbe étudiée par Peano en 1890.
Giuseppe Peano (1858 - 1932) : mathématicien italien. Voir aussi cet article. |
Paramétrisation cartésienne :
définie,
en posant, en base 3,
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Définition n°1 :
La courbe de Peano est une courbe remplissant le carré [0, 1]2 définie par l'algorithme :
1) Partager [0, 1]2 en 9 "petits" carrés "égaux" ; numéroter chacun de ces carrés de sorte que deux carrés successifs se touchent par un côté, en commençant par le carré en bas à gauche, et terminant par le carré en haut à gauche ; il y a deux possibilités : nous choisissons le chemin vertical.
2) Partager chacun de ces carrés en 9 "micro" carrés "égaux" ; numéroter chacun de ces carrés de sorte que deux micro carrés successifs se touchent par un côté, en commençant par le micro-carré en bas à gauche, et terminant par le micro-carré en haut à droite, le premier micro-carré d'un petit carré devant avoir un côté en commun avec le dernier micro-carré du petit carré précédent et le dernier micro-carré devant toucher par un coté le petit carré suivant.
3) Recommencer ce processus à l'infini.
A l'étape n, on obtient donc une suite de
9n carrés 
de côté 
,
deux carrés successifs se touchant par un côté, recouvrant
successivement les carrés 
.
La courbe de Peano approchée du premier type
d'ordre n est alors la ligne brisée joignant les centres successifs
de ces carrés.
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Le labyrinthe de Peano d'ordre n est la
réunion des côtés des carrés
excepté les
côtés joignant deux carrés consécutifs
(et les deux entrées) :
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Si t appartient à [0,1[ , posons 
(où [t] désigne la partie entière de t).
Les 
,
pour t fixé, forment une suite de carrés (compacts)
emboîtés dont l’aire tend vers 0 ; leur intersection est donc
réduite à un point 
, point courant de la courbe de Peano.
On démontre que la courbe est continue et que sa trajectoire est dense dans le carré, donc égale à ce carré.
Définition n° 2 :
Etant donné un carré ABCD (ici A(0,0), B(1,0), C(1,1), D(0,1)), la courbe de Peano est la courbe limite de segment de départ [AC] associée à une famille de 9 contractions , similitudes de rapport 1/3, transformant le grand carré en les neuf petits carrés qui le composent, dont le carré plein ABCD est l'attracteur.
La courbe de Peano approchée du deuxième
type d'ordre n est l'image itérée n-ième
de [AC] par f définie par
.
C'est cette courbe, peu esthétique car on ne comprend pas son tracé
à première vue, qui est en général présentée
comme courbe de Peano.
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En prenant comme courbe de départ : 
,
on peut retrouver la courbe de Peano du premier type, à condition
de raccorder les morceaux entre eux :
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En prenant comme courbe de départ un segment [(a,
a)
, (1-a, 1-a)] et en raccordant, on obtient une suite de courbes
sans point double convergeant aussi vers la courbe de Peano :
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La couirbe de Peano étant historiquement le premier
exemple de courbe remplissant un carré, l'expression courbe de Péano
désigne souvent une courbe remplissante
générale.
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© Robert FERRÉOL, Jacques MANDONNET 2000
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