L-système à trois-barres

L-SYSTÈME À TROIS BARRES
Three bars L-sytem

Nom maison.

Code maple donnant l'image ci-dessus.

troisbarres:=proc(A,B,n,t,v,u,w)
if n=0 or abs(B-A)<0.01 then A else P,Q:=(1-t)*A+t*B+I*(B-A)*v,(1-u)*B+u*A+I*(B-A)*w:
troisbarres(A,P,n-1,t,v,u,w),
troisbarres(P,Q,n-1,t,v,u,w),
troisbarres(Q,B,n-1,t,v,u,w)
fi end:
dess:=troisbarres(0,1,30,0.1,0.2,0.1,-0.2):
complexplot([dess,1],scaling=constrained,axes=none);

Un L-système à trois-barres est un L-système dont la fonction de base transforme un segment [AB] en une ligne brisée continue [APQB].

Prenant A(0,0), B(0,1), P(t,v), Q(1- u, -w), le système est déterminé par les 4 réels t, u, v, w, . Pour qu'il y ait un attracteur, les trois segments doivent être de longueur < 1, soit , , .

Cas t = u et v = w :

Alors et la condition d'existence de l'attracteur se résume à .
L'image en en-tête est obtenue pour t = u = 0,1 et v = w = 0,2.

Cas où de plus les barres ont même longueur :

On a et ; le système est toujours attractif car .

Les barres ont alors des angles successifs égaux de mesure q avec (il faut donc t > 2/5 = 0,4) , soit , ce qui donne des barres de longueur .

On a alors , et .
L'attracteur est de dimension fractale .

En prenant on obtient l'un des p côtés du contour de l'île de Gosper d'ordre p ; le cas ci-dessous, de dimension fractale .

Le cas où la barre centrale est verticale est obtenu pour , d'où , , barres de longueur , dimension fractale égale à 2, donc courbe remplissante.
Il s'agit du terdragon :

Cas t = 0,45 :

Voir aussi la courbe du triangle de Sierpinski, qui est obtenue par trois barres, mais avec retournement pour deux barres.

fractal suivant fractal précédent courbes 2D courbes 3D surfaces fractals polyèdres