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CUBE ADOUCI
Snub cube, abgeschrägter Würfel

                    .
Anaglype à regarder avec des lunettes rouge (à gauche) et bleu (à droite) 
Programme Maple de tracé.

 
Autre nom : cube camus.

 
Famille polyèdre semi-régulier ou polyèdre d'Archimède
Historique solide connu d'Archimède (IIIe s. av. J.C.)
Autre nom cube camus
Dual icositétraèdre pentagonal
Faces 32 triangles et 6 carrés
Sommets 24 sommets de degré 5, de code de Schläfli 34.4 
Arêtes 60 arêtes de longueur a
angle dièdre entre un carré et un triangle 
entre deux triangles : , t est la constante de Tribonacci, unique racine réelle de .
Patron et graphe
Diamètres sphère inscrite dans les carrés : ; dans les triangles : 
intersphère (tangente aux arêtes) :  ; sphère circonscrite : .
Mensurations volume :   aire : 
coefficient isopérimétrique : .
Coordonnées des sommets Permutations paires de  avec un nombre pair de signes +, et permutations impaires de  avec un nombre impair de signes +. En prenant les permutations paires avec un nombre impair de signes plus, et les permutations impaires avec un nombre pair de signes plus, on obtient l'image miroir.
Construction adoucissement du cube ou de l'octaèdre

Les carrés jaunes sont obtenus à partir d'une face du cube par similitude directe de rapport  et d'angle r est l'unique racine réelle de  et t est la constante de Tribonacci, définie ci-dessus.
Voir sur cette page une excellente animation de la construction.
Remarquons qu'on passe du rhombicuboctaèdre au cube adouci en "partageant" les carrés verts en deux triangles : 
Plans de symétrie Aucun ; le cube adouci est donc "chiral" : voir les 2 versions ci-dessus.
Axes de rotation

3 axes passant par les centres de 2 carrés opposés
(2 rotations d'ordre 4  par axe et une d'ordre 2)
4 axes passant par les centres de 2 triangles opposés (2 rotations d'ordre 3  par axe)

6 axes passant par 2 milieux d'arêtes opposés (1 rotations d'ordre 2  par axe)
Groupe des isométries = groupe des rotations du cube ou de l'octaèdre (pas d'isométrie négative).
Remarque Contrairement à ce qui se passe pour les polyèdres semi-réguliers non "adoucis", le groupe des isométrie n'agit pas transitivement sur les faces de même type.

 
Le problème des dictateurs ennemis consiste à se demander comment sont disposées sur une sphère n calottes sphériques identiques (les empires de chaque dictateur) de taille maximale et ne se chevauchant pas.
Dans le cas n = 24, il a été démontré que la réponse optimale consiste à disposer les dictateurs aux sommets d'un cube adouci.
Sources : Marcel Berger, Pour la Science n° 176, p. 72 et Dossier Pour la Science n° 41 p. 40.

Voir aussi le dodécaèdre adouci.
 
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© Robert FERRÉOL 2008