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RHOMBICUBOCTAÈDRE ET GYRO-RHOMBICUBOCTAÈDRE
Rhombicuboctahedron and gyrorhombicuboctahedron,
Rhombenkuboktaeder und Gyrorhombenkuboktaeder

Du grec rhombos "losange" + cuboctaèdre : c'est un cuboctaèdre avec des losanges en plus (qui sont en fait des carrés).
Autre nom du rhombicuboctaèdre : petit rhombicuboctaèdre, le grand étant alors le cuboctaèdre tronqué.
Autres nom du gyro-rhombicuboctaèdre : pseudo-rhombicuboctaèdre, néo-rhombicuboctaèdre, polyèdre de Miller, d'Achkinouze, de Bert.
Vues Povray de cette page réalisées par Alain Esculier.

 
  rhombicuboctaèdre gyro-rhombicuboctaèdre
Famille polyèdre semi-régulier, ou polyèdre d'Archimède IFR (inscriptible à faces régulières)
polyèdre de Johnson n° 37, sous le nom de gyro-bicoupole carrée allongée.
Historique solide connu d'Archimède (IIIe s. av. J.C.) Aurait été connu de Képler.
D'après la légende, aurait été redécouvert suite à une erreur de construction du rhombicuboctaèdre, successivement par les mathématiciens anglais, français et russe : J.C.P. Miller, M. Bert et V.G. Achkinouze dans les années 1930, 1940 et 1950.
Dual icositétraèdre trapézoïdal gyro-icositétraèdre trapézoïdal
Faces 18 carrés et 8 triangles 18 carrés et 8 triangles
Sommets 24 sommets de degré 4, de code de Schläfli  3.4 24 sommets de degré 4, de code de Schläfli  3.4
Arêtes 48 arêtes de longueur a ; angle dièdre entre 2 carrés : 135° ; angle dièdre entre 1 carré et 1 triangle :  = 144° 44' 08" 48 arêtes de longueur a
Patron
 
Graphe
 
Diamètres sphère inscrite ;
intersphère (passant par les milieux des arêtes)
sphère circonscrite
 
Mensurations volume : 
aire : 
Coefficient isopérimétrique : 
volume :       aire :
Constructions 1) cube ou octaèdre tronqué aux arêtes et aux sommets.

2) cuboctaèdre fortement tronqué aux sommets et déformé de sorte que les rectangles deviennent des carrés.
3) 3 anneaux octogonaux à faces carrées enlacés.
Obtenu en faisant pivoter d'un huitième de tour l'une des coupoles du rhombicuboctaèdre.
 
 

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Coordonnées des sommets et les permutés.
Plans de symétrie 9  
Axes de rotation
6 axes passant par les centres de 2 carrés opposés
(1 rotation d'ordre 2  par axe)
4 axes passant par les centres de 2 triangles opposés (2 rotations d'ordre 3 par axe)
3 axes passant par les centres de 2 carrés opposés
(3 rotations d'ordre 4  par axe)
 
Groupe des isométries = celui du cube  
Polyèdres apparentés L'hexaèdre tronqué étoilé, qui a les mêmes sommets
Le grand rhombicuboctaèdre

 
Pourquoi le gyro-rhombicuboctaèdre n'est-il pas semi-régulier ?
Essayons d'amener à coincider un sommet du plateau supérieur à un sommet du plateau inférieur.
On sera obligé d'effectuer un demi-tour puis un huitième de tour ; la coupole inférieure va bien coincider, mais pas la supérieure...
Etrange rhombicuboctaèdre en verre, rempli d'eau, tiré du célèbre tableau représentant le géomètre Luca Pacioli.

 
Les 48 arêtes se répartissennt en 6 octogones qui projetés sur la sphères circonscrite forment 6 cercles donnant l'un des 13 pavages archimédiens de la sphère.
On peut entrelacer ces cercles de façon à obtenir un entrelacs à 24 croisements.
La première version ci-contre est alternée (passages dessus-dessous).
La deuxième version consiste en un dédoublement de l'entrelacs borroméen associé à l'octaèdre (à droite).
Chacun des 8 trios tricolores de cercles forme un trio d'anneaux de Borromée.
Sculpture d'Angel DUARTE, Lausanne, Suisse.
Les sommets extérieurs sont ceux d'un rhombicuboctaèdre, comme le montre la figure ci-contre, réalisée par Alain Esculier.

 
Lanternes en rhombicuboctaèdres étoilés :

 photo   Alain Esculier

 
 
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© Robert FERRÉOL 2015