Paramétrisation cartésienne :  () ou  où  (Gd-1 est la fonction de Gudermann inverse). Paramétrisation où les lignes de coordonnées sont les lignes asymptotiques : . Avec la première paramétrisation : Première forme quadratique fondamentale : . Courbure totale constante : . Équation des géodésiques : .  Volume :  ; aire : 4pa2.

La pseudo-sphère est la surface de révolution engendrée par la rotation d'une tractrice autour de son asymptote.
Elle s'appelle ainsi car sa courbure totale est constante, comme pour la sphère, mais négative.

Beltrami a considéré cette surface car elle constitue un modèle du plan hyperbolique.
En effet par un point donné, il passe une infinité de géodésiques "parallèles", c'est-à-dire, ne rencontrant pas, une géodésique donnée ; Pour plus de détails sur ce sujet voir ce diaporama de géométrie dynamique sur la pseudosphère et jouer avec sa géométrie en ligne.
 

Pseudosphère avec ses lignes asymptotiques.

Modèle original de la pseudo-sphère construit par Beltrami.

 

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courbes 3D

surfaces

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polyèdres

© Robert FERRÉOL  2008