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OVALE DE CAYLEY
Cayley oval, cayleysches Oval

Courbe étudiée par Cayley en 1857.
Arthur Cayley (1821-1895) : mathématicien anglais.

 
Équation bipolaire :  (avec deux pôles F et F' distants de 2a).

Biquartique, quadricirculaire.

Les ovales de Cayley sont les lieux des points du plan dont la moyenne harmonique des distances à 2 points, les foyers, est constante (= b).

Ce sont donc les lignes équipotentielles du potentiel électrostatique créé par deux charges égales placées aux pôles (ou du potentiel gravitationnel créé par deux masses identiques).

vue des équipotentielles, en rouge, avec les lignes de champ.

Cas ba : l'"ovale" est formé de 2 courbes en forme d'oeuf symétriques par rapport à O.
Cas e = 1 (ba) la courbe a une forme de 8.
Cas :  l’ovale a alors la forme d’une "ellipse" déprimée aux deux sommets du petit axe.
Cas  : l’ovale a enfin la forme ovale, tendant vers une forme circulaire quand e augmente.

Tout ceci rappelle fortement les ovales de Cassini (qui sont eux des quartiques) ; on peut en effet placer ces deux familles dans le cas plus général des lieux des points du plan dont la moyenne d'ordre p des distances à 2 points est constante, d'équation bipolaire   ; on voit ci-dessous que les ovales de Cassini et de Cayley sont assez proches ; on peut les différencier par les tangentes en O.
 
p = - 
  < p  <  -1
p = -1
-1 < p < 0
min ( r , r' ) = b

b = 0 : foyers, b = a : deux cercles tangents

b = 0 : 2 points, b = a : huit

b = 0 : 2 points, b = a : huit

b = 0 : 2 points, b = a : huit
Arcs de cercles centrés aux foyers
Ovales de Cayley

 
p = 0
0 < p < 1
p = 1
r + r' = 2b

b = 0 : 2 points, b = a : huit

b = 0 : 2 points, b = a : huit

b = a : segment
Ovales de Cassini
Ellipses

 
1 < p < 2
p = 2
2 < p < ¥
p = + ¥
r2 + r'2 = 4b2
max ( r , r' ) = b

b = a : point O.

b = a : point O.

b = a : point O.

b = a : point O
Cercles
Arcs de cercles centrés aux foyers

Une autre généralisation consiste à placer des charges quelconques en des points quelconques ; les lignes équipotentielles, d'équation multipolaire  s'appellent les équipotentielles de Cayley : elles sont aux ovales de Cayley ce que sont les cassiniennes aux ovales de Cassini.

Voici par exemple les équipotentielles (en rouge), d'équation  et les lignes de champ correspondantes (en bleu) dans le cas de deux charges opposées.

Pour le cas limite de ces dernières courbes quand les pôles se rapprochent, voir à courbe du dipôle.

On peut bien sur généraliser ceci aux courbes d'équation multipolaire  qui redonnent les équipotentielles de Cayley pour p = – 1. Pour p = – 2, on obtient les courbes dites "isophoniques". Ce sont les courbes joignant les points où l'intensité sonore (ou lumineuse) dues à des souces sonores (ou lumineuses) placées aux pôles est identiques ; voici par exemple des courbes isophoniques pour des sources identiques placées aux sommets d'un triangle :

Pour d'autres courbes définie par des phénomènes sonores, voir les courbes de Loriga.
 

Pour d'autres équipotentielles et lignes de champ, voir cette page.

Le hibou de Cayley....


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© Robert FERRÉOL, Jacques MANDONNET 2011