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SPIRALE DE CORNU OU CLOTHOÏDE
Cornu spiral or clothoid, Cornusche Spirale oder Klothoide

Courbe étudiée par Jacques Bernoulli en 1705, Euler en 1743,  Fresnel en 1818, Cornu en 1874, Cesaro en 1886 (qui a donné le nom de clothoïde).
Autres noms : radioïde aux arcs, spirale d'Euler, spirale de Fresnel, spirale volute.
En allemand : Spinnlinie.
Alfred Cornu (1841-1902) : physicien français.
Clothoïde vient du grec klothein : filer (la laine) : la forme de la courbe rappelle la forme du fil qui s'enroule autour du métier à tisser) ; Clotho était celle des trois Parques qui filait la destinée des hommes ; il n'y a pas de parenté avec l'anglais cloth.
Courbe transcendante.

 
Définition cinématique :  (2 parmi les 3 suffisent).
Paramétrisation cartésienne : 
Paramétrisation complexe : .
Courbe transcendante.
Angle tangentiel cartésien : .
Abscisse curviligne : s = a t.
Rayon de courbure : .
Équation intrinsèque 1 .
Équation intrinsèque 2 :  .
Les points asymptotes  et  se déterminent à l'aide des intégrales de Fresnel .

La spirale de Cornu, ou clothoïde, peut être définie comme la courbe plane dont la courbure est proportionnelle à l'abscisse curviligne.
La distance  entre deux points de la courbe étant égale à, cette courbe, une fois tracée, permettait (avant les moyens de calcul actuels) d'avoir des valeurs approchées de cette intégrale, intégrale intervenant pour le calcul de la vibration résultante lors des phénomènes de diffraction ; c'est la raison de l'utilisation de cette courbe par le physicien Cornu.

Définition cinématique : la clothoïde est la courbe qui, parcourue à vitesse constante v, est telle que la courbure varie proportionnellement au temps.
L'angle de rotation du volant d'une voiture étant proportionnel à l'angle de braquage des roues, lui-même équivalent au voisinage de 0 à la courbure multipliée par la distance entre les roues avant et arrière de la voiture, la clothoïde approche dans sa partie centrale la courbe décrite par une voiture roulant à vitesse constante dont le conducteur tourne son volant à vitesse constante, courbe désignée par courbe de giration constante ; d'où son utilisation dans le tracé des courbes des autoroutes.

De plus, comme toute courbe ayant un point de courbure nulle, on peut raccorder des segments de droites et de clothoïdes entre eux de sorte que la courbure varie continûment le long de la courbe ; la force centrifuge subie par un observateur circulant de façon continue le long de cette courbe varie donc continûment, ce qui n'est pas le cas dans un raccord cercle-droite ; d'où l'utilisation également de clothoïdes dans les voies ferrées. Ces courbes sont plus généralement désignées sous le nom de radioïdes (d'où le nom de radioïde aux arcs donné à la clothoïde).
 

 
Deux segment de droites orthogonaux, reliés d'une part par un arc de cercle (courbe bleue), d'autre part par deux arcs de clothoïdes. Le rapport des deux longueurs vaut .





Graphe (correspondant au schémas précédent) de la courbure en fonction de l'abscisse curviligne ; on constate qu'avec les arcs de clothoïde, il y a continuité (mais pas dérivabilité) de la courbure tout le long de la trajectoire.

La clothoïde apparaît aussi dans le problème de détermination des trajectoires les plus courtes joignant deux points dans le plan, la dérivée de la courbure étant bornée, les tangentes et les courbures du départ et de l'arrivée étant donnés, la tangente et la courbure de la trajectoire étant continues ; la trajectoire optimale est un arc de clothoïde ou un segment de droite.

La courbe de Mannheim de la clothoïde est une hyperbole équilatère et sa radiale un lituus.
 
 
Une généralisation de la clothoïde consiste en la courbe dont la courbure est proportionnelle à la puissance n-ième de l'abscisse curviligne (la clothoïde classique consistant en le cas n = 1) ; elle est étudiée sous le nom de pseudo-spirale de Pirondini (ci-contre, le cas n = 2) ; il se trouve que la développée de la clothoïde est une pseudo-spirale, d'indice n = –3).
Autre généralisation : cas où la courbure est un polynôme en s.

Voir aussi l'anti-clothoïde, qui n'est autre que la développante de cercle.


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© Robert FERRÉOL, Jacques MANDONNET 2013