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ŒUF DE HÜGELSCHÄFFER
Hügelschäffer
egg, Hügelschäffersche Eikurve
Courbe étudiée par Fritz Hügelschäffer en 1948, Maja Petrovic en 2011. |
L'oeuf de Hügelschäffer est la transformée
de Newton de 2 cercles par rapport à un repère Oxy
, O étant le centre du premier cercle et le deuxième
étant centré sur Ox. Lorsque les deux cercles sont
concentriques, on obtient la construction classique de l'ellipse
par réduction d'ordonnée ; le fait de décaler l'un
des cercles désymétrise l'ellipse et donne, lorsque le cercle
de centre O est inclus dans l'autre, une courbe en forme d'oeuf.
Paramètres pour la courbe ci-contre : a = 6, b = 4, d = 1. |
Équation cartésienne pour un cercle de
centre O de rayon b et le deuxième cercle de centre
(d, 0) et de rayon a :
ou .
Cubique elliptique à ovale (sauf cas particuliers). Paramétrisation cartésienne : . Aire de l'ovale : . Volume de l'ovoïde obtenu par rotation autour de l'axe : . |
Comme toute cubique, la courbe algébrique complète
ne comporte pas que la forme ovoïde mais aussi une branche allant
à l'infini.
La deuxième équation ci-dessus montre d'ailleurs que les œufs de Hügelschäffer sont en fait équivalents aux hyperboles cubiques d'équation avec P de degré 2 (P pouvant avoir le degré 3 pour une hyperbole cubique quelconque). |
L'autre transformée
de Newton (obtenue en échangeant les axes) possède aussi
des allures d'œufs pour certaines valeurs du paramètre (ci-contre,
en vert, pour a = 4, b = 6, d = 1). Bizarrement
ce n'est plus une portion de cubique mais une demi-sextique (l'autre moitié
étant sa symétrique par rapport à Oy).
La courbe verte ci-contre n'est pas la symétrique de la courbe rouge ci-dessus ! Équation de cette sextique : . |
Lorsque le deuxième cercle est centré sur le premier (d = a), la première transformée de Newton se décompose en une parabole et une droite, et la deuxième se décompose en une lemniscate de Gérono et une droite double. | |
Vue de la surface obtenue par rotation autour de l'axe. |
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Voir aussi l'œuf d'Ehrart, et ce répertoire des courbes en forme d'œuf.
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© Robert FERRÉOL 2022