Surface d'équidistance

SURFACE D'ÉQUIDISTANCE, ENSEMBLE DE SYMÉTRIE
Equidistance surface, symetry set, skeletton, Äquidistanzfläche, Symetriemenge, Skelett

Autre nom : surface médiatrice.

Obtention de l'équation de la surface d'équidistance : éliminer entre .
Cas particulier d'une surface et un plan : ; alors avec .
Réalisation : Alain Esculier

La surface d'équidistance de deux surfaces et est le lieu des points M situés sur une normale en M₁ à et sur une normale en M₂ à avec MM₁ =MM₂ (généralisation à la dimension 3 de la notion de courbe d'équidistance).
C'est donc aussi :
- le lieu des points situés sur deux surfaces parallèles respectives aux deux surfaces, à la même distance.
- le lieu des centres des sphères tangentes aux deux surfaces.

Exemples :
    - deux surfaces parallèles ont pour surface d'équidistance une autre surface parallèle.
    - deux surfaces symétriques par rapport à un plan ont une portion de ce plan comme surface d'équidistance (par exemple, la surface d'équidistance de deux plans sécants est formée des deux plans bissecteurs).
    - la surface d'équidistance d'une sphère et d'un plan est formée d'un ou deux paraboloïdes de révolution ; si la sphère est de centre F et de rayon R, et le droite noté P, la surface d'équidistance est définie par où H est le projeté de M sur D. La, ou les paraboloïdes sont de foyer F et de plan directeur parallèle à P.

Divers cas : sphère disjointe du plan, tangente, sécante au plan.
Le deuxième paraboloïde n'est pas tracé.

- la surface d'équidistance de 2 sphères est formée de deux quadriques de révolution bifocales ; si les sphères sont respectivement de (centre, rayon) : (F,R) et (F',R'), la surface d'équidistance est définie par .
Ces deux quadriques sont...

...deux ellipsoïdes lorsqu'une sphère est intérieure à l'autre : ...un ellipsoïde et un plan lorsque les sphères sont tangentes intérieurement :

...un ellipsoïde et un hyperboloïde H2 lorsque les sphères sont sécantes : ...un hyperboloïde et un plan lorsque les sphères sont tangentes extérieurement :

...deux hyperboloïdes lorque les sphères sont extérieures l'une à l'autre : Ci-contre, la surface d'équidistance entre un plan et un paraboloïde (une des deux nappes).
Surface algébrique de degré 6.

Surface d'équidistance entre un ellipsoïde et un plan.
La nappe rouge est le lieu des centres des sphères tangentes au plan et, extérieurement, à l'ellipsoïde, la nappe mauve est le lieu des centres des sphères tangentes au plan et, intérieurement, à l'ellipsoïde.

Réalisation : Alain Esculier

- Si l'on fait tourner une néphroïde autour de son axe vertical, la surface d'équidistance de cette surface de révolution avec le plan passant par le cercle des rebroussements est une sphère.

On peut considérer les cas où les deux surfaces ne font qu'une. La surface d'équidistance, qui prend alors le nom d'ensemble de symétrie, est le lieu des centres des sphères bitangentes (ou multitangentes) à la surface, et donc aussi le lieu des points où les surfaces parallèles se recoupent elles-même.

Exemples :

L'ensemble de symétrie d'un ellipsoïde quelconque

L'ensemble de symétrie de l'enveloppe d'une famille de sphères est le lieu des centres (mais attention, certaines sphères peuvent avoir un contact imaginaire avec la surface : leur centre ne sera pas compté dans l'ensemble réel) ; par exemple, l'ensemble de symétrie d'une surface anallagmatique est sa déférente.

Une notion voisine de celle de surface d'équidistance, plus ensembliste que géométrique, est celle d'ensemble médiateur de deux sous-ensembles de l'espace, ensemble des points situés à égale distance de ces deux sous-ensembles (la distance à un ensemble étant la borne inférieure des distances à un point de cet ensemble) ; lorsque les sous-ensembles sont des surfaces, l'ensemble médiateur est en général inclus dans la surface d'équidistance.

Voici par exemple l'ensemble médiateur de deux sphères sécantes, toujours formé d'un ellipsoïde, mais dont l'hyperboloïde ne comporte plus qu'une nappe :

La notion ensembliste voisine de celle d'ensemble de symétrie est alors celle de squelette d'une partie compacte X de l'espace, qui est l'adhérence de l'ensemble des points M de cet compact, tels que la distance de M à la frontière du compact est atteinte en deux points distincts ; c'est aussi l'adhérence de l'ensemble des centres des boules maximales incluses dans la partie (une boule maximale étant une boule qui n'est strictement incluse dans aucune autre de même centre).

Pour un polyèdre convexe plein, le squelette est formé de portions de plans bissecteurs de couples de faces, limitant les "zones d'attraction" de chaque face (lieux des points du polyèdre plein plus proches de la face considérée que des autres).
Voici par exemple, le squelette du parallélépipède rectangle, et celui du tétraèdre quelconque, formé des 6 triangles joignant le centre de la sphère inscrite aux arêtes.

Le squelette d'un polyèdre régulier, est formé des triangles joignant le centre aux A arêtes.
A = 12 pour l'octaèdre (et le cube), A = 30 pour le dodécaèdre (et l'icosaèdre).

On peut étendre la notion au cas où X est un sous-ensemble quelconque de l'espace; par exemple, si X est le complémentaire d'une partie finie Y, le squelette est formé des frontières des cellules de Voronoï associées aux points de Y.

surface suivante surface précédente courbes 2D courbes 3D surfaces fractals polyèdres

...deux ellipsoïdes lorsqu'une sphère est intérieure à l'autre :		...un ellipsoïde et un plan lorsque les sphères sont tangentes intérieurement :
...un ellipsoïde et un hyperboloïde H2 lorsque les sphères sont sécantes :		...un hyperboloïde et un plan lorsque les sphères sont tangentes extérieurement :
...deux hyperboloïdes lorque les sphères sont extérieures l'une à l'autre :		Ci-contre, la surface d'équidistance entre un plan et un paraboloïde (une des deux nappes). Surface algébrique de degré 6.

Pour un polyèdre convexe plein, le squelette est formé de portions de plans bissecteurs de couples de faces, limitant les "zones d'attraction" de chaque face (lieux des points du polyèdre plein plus proches de la face considérée que des autres). Voici par exemple, le squelette du parallélépipède rectangle, et celui du tétraèdre quelconque, formé des 6 triangles joignant le centre de la sphère inscrite aux arêtes.
Le squelette d'un polyèdre régulier, est formé des triangles joignant le centre aux A arêtes. A = 12 pour l'octaèdre (et le cube), A = 30 pour le dodécaèdre (et l'icosaèdre).