Bielle de Bérard

COURBE DE LA BIELLE DE BÉRARD

N'est représenté ci-dessus à gauche que la moitié de chaque courbe ; il faudrait les compléter par leur symétrique par rapport à (OA).

Courbe étudiée par Bérard en 1820 et Ruiz-Castizo en 1889.
Autres noms : courbe du système bielle-manivelle, quartique de Ruiz-Castizo.

Une courbe de la bielle de Bérard est le lieu d’un point fixé M du plan lié à la barre [PQ] (appelée la bielle) d'un mécanisme articulé (OPQ), O étant fixe et Q astreint à se mouvoir sur une droite (D) (le tiroir, ou piston). Autrement dit, une courbe de la bielle de Bérard est le lieu d'un point lié à un segment de longueur constante joignant un cercle (C) à une droite (D).

Nous choisissons A(0, a) projeté de O sur (D) , OP = b, PQ = c.
En prenant des lettres minuscules pour les affixes des points, on a :

En écrivant , on obtient en prenant :
Paramétrisation cartésienne :
, avec ;
en particulier, le mouvement de Q n'est pas sinusoïdal.
Quartique bicirculaire (?).
Équation cartésienne lorsque M est sur la droite (PQ) (soit l = 0) :
.

La courbe est non vide si et seulement si a £ b + c, et dans ce cas, elle est connexe ssi b £ a + c (?).

Lorsque M est sur la bielle, l'équation ci-dessus montre que la courbe de Bérard est alors une courbe polyzomale, médiane des deux ellipses : , et .

En particulier :
- lorsque a = 0 ((D) passe par O) et k = -1, ces deux ellipses sont des cercles concentriques : les courbes associées sont les quartiques de Bernoulli. Voir sur cette page la base et la roulante du mouvement plan sur plan associé.

- lorsque c = a + b et k = -1, ces deux ellipses sont des cercles tangents : les courbes associées sont les doubles-coeurs.

- lorsque a = 0 et b = c, la courbe de Bérard se décompose en un cercle et une ellipse (on retrouve en fait la construction de l'ellipse par la bande de papier).

Si on remplace le cercle (C) par une conique quelconque, on obtient toutes les courbes polyzomales.

Si on remplace la droite (D) par un cercle, on obtient une courbe du trois-barres.

Si la bielle n'est plus astreinte à ce que son extrémité coulisse sur une droite, mais à coulisser par un point fixe, on obtient les conchoïdes de cercles.

Voir aussi www.univ-lemans.fr/enseignements/physique/02/meca/bielle.html

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