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BICORNE
Bicorn or cocked hat, Zweihornkurve

Courbe étudiée par Sylvester en 1864, Cayley en 1867 et G. de Longchamps en 1897.
Nom donné par Sylvester.

 
Équation cartésienne :  ou  .
Paramétrisation cartésienne :  ou  .
Aire : .
Quartique rationnelle, circulaire.

 
Première construction (Charlotte Scott, Ed. Times,1896)

Soient (C) et (C') deux cercles tangents, de centres O et O' et de rayon a ; un point N décrivant (C'), le bicorne est le lieu des points d'intersection de la parallèle à (OO') passant par N avec la polaire de N par rapport au cercle (C).

Deuxième construction (G. de Longchamps, JMS, 1897)
 

Étant donné deux points fixes A(a, 0) et B(a, 0), un cercle (C) de centre C(0, b) de rayon c et de point courant P, le lieu de l'orthocentre H du triangle ABP a pour paramétrisation :  ; lorsque , on obtient le bicorne.

REM : pour a=b=0, on obtient le kappa, et si C=B et c=a, on obtient la strophoïde droite.

Troisième construction (V. Jerabek, mathesis, 1912).
Étant donné deux points fixes A(a, 0) et B(a, 0), un cercle (C) de centre C(0, b) de rayon c, et un diamètre variable [PQ] du cercle (C), le lieu des intersections des droites (AP) et (BQ) (ou (AQ) et (BP) ) a pour paramétrisation :  ; lorsque , on obtient le bicorne.
Si M et N sont les points d'intersection des droites (AP) et (BQ) et des droites (AQ) et (BP), la droite (MN) enveloppe une cissoïde droite.
Une généralisation possible est de considérer les deux points P et Q liés à un plan mobile superposé au plan fixe de A et B ; ici, le plan mobile a un mouvement de rotation autour de C
Cette construction permet d'obtenir le bicorne par projection orthogonale de l'intersection d'un cône elliptique avec un paraboloïde hyperbolique (courbe biquadratique).
Le cône a pour sommet un point A1(a, 0, h) sur la verticale menée par A, et pour directrice le cercle (C).
Le paraboloïde est défini par le quadrilatère gauche (A1B'BB1) où B'(a, a, 0) est le symétrique de B par rapport à C, et B1(a, 0, h) est sur la verticale menée par B.

Autre caractérisation (Roland Deaux, 1945) : le bicorne est le lieu du centre du cercle inscrit dans un triangle dont deux sommets sont fixes et dont le périmètre est égal à la somme des rayons des cercles exinscrits.
 
Un point M d'un cercle se projette en P et Q sur deux tangentes au cercle,  perpendiculaires entre elles ; lorque M décrit le cercle, la droite (PQ) enveloppe une quartique ayant deux points de rebroussement, paramétrée à similitude près par .
Mais ce n'est pas un bicorne car les tangentes aux points de rebroussement ne passent pas par le sommet.

 
Le bicorne mathématique étant plus proche du bicorne de l'armée britannique...
...que du bicorne des polytechniciens...
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... Henri Lazennec a repris la construction de Jérabek en remplaçant le cercle par une cardioïde.
Il considère les points A(4, 0), B(4, 0), C(0, 3), D(0, 2).
Le segment [PQ] de longueur fixe 4, passant par D et dont le milieu I décrit le cercle de centre C et de rayon 1 a ses extrémités décrivant une cardioïde de pointe D.
Lorsque [PQ] tourne sur la cardioïde, l'intersection M de (AP) et (BQ) décrit une courbe à l'allure de bicorne, avec des pointes retroussées.
Paramétrisation : .

 
 
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© Robert FERRÉOL  2016