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BICORNE
Bicorn, Zweihornkurve

Courbe étudiée par Sylvester en 1864, Cayley en 1867 et G. de Longchamps en 1897.
Nom donné par Sylvester.

 
Équation cartésienne :  ou  .
Paramétrisation cartésienne :  ou  .
Aire : .
Quartique rationnelle, circulaire.

 
Première construction (Charlotte Scott, 1896)

Soient (C) et (C') deux cercles tangents, de centres O et O' et de rayon a ; un point N décrivant (C'), le bicorne est le lieu des points d'intersection de la parallèle à (OO') passant par N avec la polaire de N par rapport au cercle (C).

Deuxième construction (G. de Longchamps, 1897)
 

Étant donné deux points fixes A(a, 0) et B(a, 0), un cercle (C) de centre C(0, b) de rayon c et de point courant P, le lieu de l'orthocentre H du triangle ABP a pour paramétrisation :  ; lorsque, on obtient le bicorne.

La transformation P > H est aussi utilisée pour une construction de la strophoïde droite.
 

Troisième construction (Henri Lazennec, 2012)
 

Étant donné deux points fixes A(a, 0) et B(a, 0), un cercle (C) de centre C(0, b) de rayon c, et un diamètre variable [PQ] du cercle (C), le lieu des intersections des droites (AP) et (BQ) (ou (AQ) et (BP) ) a pour paramétrisation :  ; lorsque , on obtient le bicorne.
Si M et N sont les points d'intersection  des droites (AP) et (BQ)  et des droites (AQ) et (BP), la droite (MN) enveloppe une cissoïde droite.
Une généralisation possible est de considérer les deux points P et Q liés à un plan mobile superposé au plan fixe de A et B ; ici, le plan mobile a un mouvement de rotation autour de C

Autre caractérisation (Roland Deaux, 1965) : le bicorne est le lieu du centre du cercle inscrit dans un triangle dont deux sommets sont fixes et dont le périmètre est égal à la somme des rayons des cercles exinscrits.
 
 
Un point M d'un cercle se projette en P et Q sur deux tangentes au cercle,  perpendiculaires entre elles ; lorque M décrit le cercle, la droite (PQ) enveloppe une quartique ayant deux points de rebroussement, paramétrée à similitude près par .
Mais ce n'est pas un bicorne car les tangentes aux points de rebroussement ne passent pas par le sommet.

 

Le bicorne mathématique est plus proche du bicorne de l'armée britannique...


 
 

© Service audiovisuel École polytechnique
 

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...que du bicorne des polytechniciens...

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© Robert FERRÉOL, Jacques MANDONNET 2012