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CHAÎNETTE ÉLASTIQUE
Elastic catenary, elastische Kettenlinie

Réalisation : Alain Esculier
Courbe étudiée par Finck et Bobillier en 1826.

 
Équation différentielle :  où  , où  est l'inverse du module d'élasticité du fil ( = 0 pour un fil inextensible) et   sa masse linéique.
Paramétrisation cartésienne :  ou   ()
Abscisse curviligne : .
Rayon de courbure : .
Courbe transcendante.

La chaînette élastique est la forme prise par un fil pesant flexible infiniment mince homogène élastique suspendu entre deux points, placé dans un champ de pesanteur uniforme.
 
Comme pour la chaînette ordinaire la relation de la statique donne, mais la densité linéique  n'est plus constante ; d'après la loi de Hooke elle est égale à   où l est le coefficient d'élasticité relatif (ou module de Young) du fil et  la densité au repos.
Celle-ci s'intègre en   d'où  (1) ; elle montre aussi que la tension horizontale   d'où en dérivant (1) l'équation différentielle de la chaînette élastique : 
soit, en posant  et .

 
 
Cette équation, incomplète en x et en y,  s'écrit  qui s'intègre en  ou encore , qui s'intègre en , d'où la paramétrisation ci-dessus en prenant y' comme paramètre.
Avec les notations ci-dessus, si le fil est obtenu pour , on calcule U implicitement par la relation  où  est la longueur du fil au repos, X l'abscisse du point où est accroché le fil, et P le poids du fil.

 
A gauche, animation montrant les diverses positions de la chaînette élastique pour un coefficient d'élasticité croissant en partant de 0, pour un fil de masse fixée et de longueur au repos donnée. La courbe la plus haute est une chaînette classique.
On constate que l'allongement total est en gros proportionnelle à l'élasticité.
A droite, des positions équidistantes ont été marquées par des perles sur la chaînette de départ ; on constate que la position horizontale reste à peu près constante lors de l'allongement.
Si l'on oublie le problème physique de départ, en posant b=ka, on peut remarquer que la chaînette élastique fournit toutes les positions intermédiaires entre la chaînette ordinaire et la parabole.

Ci-contre, une illustration de ce fait (en bleu la chaînette et en vert la parabole).


 
La manip expérimentale : les boulons étaient équidistants sur le fil élastique au repos.

 
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© Robert FERRÉOL  2008