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CHAÎNETTE
Catenary or funicular curve, Kettenlinie
 


Courbe étudiée par Leibniz, Jean Bernoulli et Huygens en 1691.
Sous sa forme latine catenaria, le nom est dû à Huygens.
Autres noms : courbe funiculaire, vélaire.
On trouve la dénomination de caténoïde (féminin) pour les courbes affines de la chaînette. Il faut alors bien dire "le" caténoïde pour parler de la surface.
Voir aussi : home.nordnet.fr/~ajuhel/Catenaire/Catenaire_Chainette.html

 













La relation entre la longueur 2l, la flèche h et la largeur 2d
est donnée par : , d'où en éliminant  , la relation :  soit .

Équation cartésienne :  .
L'axe des x en est la base, celui des y, l’axe de symétrie.
Paramétrisation cartésienne : 
ou  , avec .
Abscisse curviligne :  .
Rayon de courbure :   (égal à la normale -> courbe de Ribaucour).
Équation intrinsèque 1 :  (cas particulier d'alysoïde).
Équation intrinsèque 2 :  (voir les notations).
Courbe transcendante.

La chaînette est la forme prise par un fil pesant flexible infiniment mince homogène inextensible suspendu entre deux points, placé dans un champ de pesanteur uniforme ; Galilée pensait que c'était un arc de parabole, mais Leibniz, Jean Bernoulli, et Huygens ont montré en 1691, indépendamment, qu'il n'en était rien.
 
Avec les notations de la figure ci-contre ( = tension du fil en M, m = masse linéique du fil) , écrivons que la somme des forces en M est nulle : 

Ceci se simplifie en, qui par intégration donne .
On en déduit qui est bien l'équation différentielle intrinsèque 2 donnée ci dessus (voir les notations).

Apprenons à différencier les chaînettes des paraboles :
 

pour une même longueur, les paraboles sont plus "pointues"

Voir la courbe du pont suspendu, ainsi que la chaînette élastique, qui joignent la parabole à la chaînette.
Comme pour le fil suspendu, une voûte formée de pierres jointives tenant par leur propre poids prend aussi une forme de chaînette, renversée (propriété dite de la voûte de Poinsot - démonstration Brocard part. comp. p 189) :
 

 

La "Gateway Arch" à St Louis dans le Missouri est en forme de chaînette

Terrasse de la casa mila, de l'architecte Gaudi à Barcelone.

Un parking à Lyon ...

Hangar à dirigeables d'Ecausseville

Par contre, les arches des ponts ont, elles, un profil parabolique (pont suspendu à l'envers...)


Le viaduc de Garabit a une arche parabolique (et non circulaire comme le disent les cartes postales)

La chaînette est aussi le profil d’une voile rectangulaire attachée à 2 barres horizontale, enflée par un vent soufflant perpendiculairement à ces barres, en négligeant le poids propre de la voile par rapport à la force du vent, d'où le nom de "vélaire" donné par Jacques Bernoulli.

L'arc de courbe de longueur donnée l joignant deux points donnés A et B dont le centre de gravité est le plus éloigné de la droite (AB) est l'arc de chaînette de longueur l joignant A à B et symétrique par rapport à la médiatrice de [AB] (par contre, pour l'aire du domaine délimité par la courbe et [AB] maximale, c'est un demi-cercle).

L'arc de courbe joignant deux points donnés A et B dont la rotation autour d'une droite (D) coplanaire avec (AB) engendre une surface d'aire minimale est l'arc de chaînette de base (D) passant par A et B ( voir à caténoïde).

La chaînette est quand même liée à la parabole par le fait que 'elle est aussi une roulette parabolique de Delaunay : lieu du foyer d'une parabole roulant sans glisser sur une droite.

La chaînette est la seule courbe dont le rayon de courbure est égal à la normale ; l'unique surface de révolution à courbure moyenne nulle a donc pour méridienne la chaînette : c'est le caténoïde ; on en déduit aussi que la chaînette est un cas particulier de courbe de Ribaucour.

La chaînette est aussi la caustique par réflexion de la courbe exponentielle y = a ex/a pour des rayons parallèles à Oy.

La développée de la chaînette est la courbe de paramétrisation : .

 
La développante principale de la chaînette est la tractrice dont l'asymptote est la base de la chaînette.

On en déduit qu’un point fixe dans le plan lié à une droite roulant sans glisser sur la chaînette, coïncidant avec le centre O de la chaînette quand la droite est tangente à son sommet, décrit la droite Ox.

Ce phénomène permet de faire rouler des roues polygonales sur des arcs de chaînette de façon à ce que le centre de la roue se déplace en ligne droite.

Pour d'autres roues folkloriques, voir à couple roue-route.

Voir aussi l'alysoïde, la chaînette élastique, la courbe du pont suspendu, la chaînette d'égale résistance, la chaînette électro-dynamique, la courbe de la corde à sauter, et la lintéaire.

La notion de chaînette se généralise à un fil placé sur une surface, avec comme cas particulier la chaînette sphérique.
 


Les fils du téléphériques forment une chaînette quand ils sont libres, 
mais le haut du téléphérique, lui, décrit un arc elliptique....


Sont-ce des chaînettes ?


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© Robert FERRÉOL, Jacques MANDONNET 2008