CHAÎNETTE
Catenary or funicular curve, Kettenlinie
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CHAÎNETTE
Catenary or funicular curve, Kettenlinie
| Courbe étudiée par Leibniz, Jean Bernoulli
et Huygens en 1691.
Sous sa forme latine catenaria, le nom est dû à Huygens. Autres noms : courbe funiculaire, vélaire. |
La relation entre la longueur 2l, la flèche
h
et la largeur 2d
|
Équation cartésienne : 
.
L'axe des x en est la base, celui des y, l’axe de symétrie. Paramétrisation cartésienne : 
,
ou 
, avec  .
Abscisse curviligne : 
.
Rayon de courbure : 
(égal à la normale
:  -> courbe
de Ribaucour).
Équation intrinsèque 1 : 
(cas particulier d'alysoïde).
Équation intrinsèque 2 : 
(voir les notations).
Courbe transcendante. |
La chaînette est la forme prise par un fil pesant
flexible infiniment mince homogène inextensible suspendu entre deux
points, placé dans un champ de pesanteur uniforme ; Galilée
pensait que c'était un arc de parabole, mais Leibniz, Jean Bernoulli,
et Huygens ont montré en 1691, indépendamment, qu'il n'en
était rien.
Avec les notations de la figure ci-contre (
= tension du fil en M, m = masse linéique
du fil) , écrivons que la somme des forces en M est nulle
: 
Ceci se simplifie en |
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Apprenons à différencier les chaînettes
des paraboles :
 
pour une même longueur, les paraboles sont plus "pointues" |
 |
Remarquons que les câbles d'un pont suspendu suivent bien, eux, un arc de parabole : il suffit en effet dans la résolution ci-dessus de remplacer la masse mds par la masse mdx (on considère ici que la masse du câble est négligeable devant celle du pont, de masse linéique m, qui est lui horizontal, et que le pont est entièrement suspendu, alors qu'il repose en fait aussi sur les piles extrêmes).
est
donc remplacée par 
qui donne l'équation différentielle ordinaire 
dont l'intégration donne bien une parabole.
Les support des caténaires ferroviaires ont eux
un profil intermédiaire entre la parabole et la chaînette,
car leur propre poids ne peut être négligé.
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Comme pour le fil suspendu, une voûte formée
de pierres jointives tenant par leur propre poids prend aussi une forme
de chaînette, renversée (propriété dite de la
voûte de Poinsot - démonstration
Brocard
part. comp. p 189) :
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La "Gateway Arch" à St Louis dans le Missouri est en forme de chaînette |
Terrasse de la casa mila, de l'architecte Gaudi à Barcelone. |
Un parking à Lyon ... |
Hangar à dirigeables d'Ecausseville |
Par contre, les arches des ponts ont, elles, un profil parabolique (pont suspendu à l'envers...)
Le viaduc de Garabit a une arche parabolique (et non circulaire comme
le disent les cartes postales)
La chaînette est aussi le profil d’une voile rectangulaire attachée à 2 barres horizontale, enflée par un vent soufflant perpendiculairement à ces barres, en négligeant le poids propre de la voile par rapport à la force du vent, d'où le nom de "vélaire" donné par Jacques Bernoulli.
L'arc de courbe joignant deux points donnés A et B dont la rotation autour d'une droite (D) coplanaire avec (AB) engendre une surface d'aire minimale est l'arc de chaînette de base (D) passant par A et B ( voir à caténoïde).
La chaînette est quand même liée à la parabole par le fait que 'elle est aussi une roulette parabolique de Delaunay : lieu du foyer d'une parabole roulant sans glisser sur une droite.
La chaînette est la seule courbe dont le rayon de courbure est égal à la normale ; l'unique surface de révolution à courbure moyenne nulle a donc pour méridienne la chaînette : c'est le caténoïde ; on en déduit aussi que la chaînette est un cas particulier de courbe de Ribaucour.
La chaînette est aussi la caustique par réflexion de la courbe exponentielle y = a ex/a pour des rayons parallèles à Oy.
La développée
de la chaînette est la courbe de paramétrisation :  . |
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| La développante principale de la chaînette
est la tractrice dont l'asymptote
est la base de la chaînette.
On en déduit qu’un point fixe dans le plan lié à une droite roulant sans glisser sur la chaînette, coïncidant avec le centre O de la chaînette quand la droite est tangente à son sommet, décrit la droite Ox. |
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Ce phénomène permet de faire rouler des roues polygonales sur des arcs de chaînette de façon à ce que le centre de la roue se déplace en ligne droite.
Voir aussi l'alysoïde, la chaînette élastique, la chaînette d'égale résistance, la chaînette électro-dynamique, la courbe de la corde à sauter, et la lintéaire.
La notion de chaînette se généralise
à un fil placé
sur une surface, avec comme cas particulier la chaînette
sphérique.
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Les fils du téléphériques forment une chaînette quand ils sont libres, mais le haut du téléphérique, lui, décrit un arc elliptique.... |
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Sont-ce des chaînettes ?
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© Robert FERRÉOL, Jacques MANDONNET 2008
,
d'où en éliminant 
, la relation : 
soit 
.
,
qui par intégration donne 
qui
est bien l'équation différentielle intrinsèque 2 donnée
ci dessus (voir les