CHAÎNETTE
Catenary or funicular curve, Kettenlinie
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CHAÎNETTE
Catenary or funicular curve, Kettenlinie
| Courbe étudiée par Leibniz, Jean Bernoulli
et Huygens en 1691.
Sous sa forme latine catenaria, le nom est dû à Huygens. Autres noms : courbe funiculaire, vélaire. Voir aussi : home.nordnet.fr/~ajuhel/Catenaire/Catenaire_Chainette.html |
La relation entre la longueur 2l, la flèche
h
et la largeur 2d
|
Équation cartésienne : 
.
L'axe des x en est la base, celui des y, l’axe de symétrie. Paramétrisation cartésienne : 
,
ou 
, avec  .
Abscisse curviligne : 
.
Rayon de courbure : 
(égal à la normale
:  -> courbe
de Ribaucour).
Équation intrinsèque 1 : 
(cas particulier d'alysoïde).
Équation intrinsèque 2 : 
(voir les notations).
Courbe transcendante. |
La chaînette est la forme prise par un fil pesant
flexible infiniment mince homogène inextensible suspendu entre deux
points, placé dans un champ de pesanteur uniforme ; Galilée
pensait que c'était un arc de parabole, mais Leibniz, Jean Bernoulli,
et Huygens ont montré en 1691, indépendamment, qu'il n'en
était rien.
Avec les notations de la figure ci-contre (
= tension du fil en M, m = masse linéique
du fil) , écrivons que la somme des forces en M est nulle
: 
Ceci se simplifie en |
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Apprenons à différencier les chaînettes
des paraboles :
 
pour une même longueur, les paraboles sont plus "pointues" |
 |
Voir la courbe
du pont suspendu, ainsi que la chaînette
élastique, qui joignent la parabole à la chaînette.
Comme pour le fil suspendu, une voûte formée
de pierres jointives tenant par leur propre poids prend aussi une forme
de chaînette, renversée (propriété dite de la
voûte de Poinsot - démonstration
Brocard
part. comp. p 189) :
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La "Gateway Arch" à St Louis dans le Missouri est en forme de chaînette |
Terrasse de la casa mila, de l'architecte Gaudi à Barcelone. |
Un parking à Lyon ... |
Hangar à dirigeables d'Ecausseville |
Par contre, les arches des ponts ont, elles, un profil parabolique (pont suspendu à l'envers...)
Le viaduc de Garabit a une arche parabolique (et non circulaire comme
le disent les cartes postales)
La chaînette est aussi le profil d’une voile rectangulaire attachée à 2 barres horizontale, enflée par un vent soufflant perpendiculairement à ces barres, en négligeant le poids propre de la voile par rapport à la force du vent, d'où le nom de "vélaire" donné par Jacques Bernoulli.
L'arc de courbe joignant deux points donnés A et B dont la rotation autour d'une droite (D) coplanaire avec (AB) engendre une surface d'aire minimale est l'arc de chaînette de base (D) passant par A et B ( voir à caténoïde).
La chaînette est quand même liée à la parabole par le fait que 'elle est aussi une roulette parabolique de Delaunay : lieu du foyer d'une parabole roulant sans glisser sur une droite.
La chaînette est la seule courbe dont le rayon de courbure est égal à la normale ; l'unique surface de révolution à courbure moyenne nulle a donc pour méridienne la chaînette : c'est le caténoïde ; on en déduit aussi que la chaînette est un cas particulier de courbe de Ribaucour.
La chaînette est aussi la caustique par réflexion de la courbe exponentielle y = a ex/a pour des rayons parallèles à Oy.
La développée
de la chaînette est la courbe de paramétrisation :  . |
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| La développante principale de la chaînette
est la tractrice dont l'asymptote
est la base de la chaînette.
On en déduit qu’un point fixe dans le plan lié à une droite roulant sans glisser sur la chaînette, coïncidant avec le centre O de la chaînette quand la droite est tangente à son sommet, décrit la droite Ox. |
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Ce phénomène permet de faire rouler des roues polygonales sur des arcs de chaînette de façon à ce que le centre de la roue se déplace en ligne droite.
Voir aussi l'alysoïde, la chaînette élastique, la courbe du pont suspendu, la chaînette d'égale résistance, la chaînette électro-dynamique, la courbe de la corde à sauter, et la lintéaire.
La notion de chaînette se généralise
à un fil placé
sur une surface, avec comme cas particulier la chaînette
sphérique.
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Les fils du téléphériques forment une chaînette quand ils sont libres, mais le haut du téléphérique, lui, décrit un arc elliptique.... |
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Sont-ce des chaînettes ?
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© Robert FERRÉOL, Jacques MANDONNET 2008
,
d'où en éliminant 
, la relation : 
soit 
.
,
qui par intégration donne 
.
qui
est bien l'équation différentielle intrinsèque 2 donnée
ci dessus (voir les