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CHAÎNETTE DÉGALE RÉSISTANCE

Courbe étudiée par  Finck et Bobillier en 1826 et Coriolis en 1836.
Autres noms : chaînette de Coriolis, longitudinale, courbe du log cosinus.

 

 


La chaînette d'égale résistance se différencie 
de la chaînette classique par ses deux asymptotes.

Équation cartésienne : .
Courbe transcendante.
Abscisse curviligne :  (rappel : sec = 1/cos)
Angle tangentiel cartésien : .
Rayon de courbure : .
Équation intrinsèque 1.
Équation intrinsèque 2 :.
Aire entre limité par Ox et les asymptotes : .
Courbe transcendante.

La chaînette d'égale résistance est la forme prise par un fil pesant flexible inextensible suspendu entre 2 points, quand la masse linéique (c'est-à-dire, en pratique, l'épaisseur du fil) est proportionnelle à la tension.
Un tel fil n'offre donc pas plus de chance de rupture en un point qu'en un autre.
Cette courbe, renversée, représente le profil d'une voûte sans surcharge (Brocard) ??
 
 
Avec les notations de la figure ci-dessus ( = tension du fil en M, m = masse linéique du fil) , écrivons que la somme des forces en M est nulle : .
Ceci se simplifie en , qui par intégration donne  ; on en déduit  et  d'où  et comme on veut  donc , on obtient l'équation différentielle :  fournissant l'équation cartésienne ci-dessus.

La masse linéique est alors égale à , ce qui détermine l'épaisseur d'un tel fil.

La formule  montre que la projection du segment rayon de courbure sur l'axe des x a une longueur constante ; cette propriété est caractéristique de la chaînette d'égale résistance.
 
 
La chaînette d'égale résistance est aussi le cas particulier k = 1 de la famille des courbes d'équation intrinsèque 1 : , courbes n'ayant pas de nom connu, mais ayant pour paramétrisation : 
Ci-contre une animation pour k allant de 0 à 6, avec arrêts à k =1 (chaînette d'égale résistance), k = 2 (courbe des forçats), et k = 4.

La radiale de cette courbe est la droite x = a et sa courbe de Mannheim une chaînette.
 
 
La développée de la chaînette d'égale résistance est la courbe de paramétrisation : 

 
 
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© Robert FERRÉOL, Jacques MANDONNET 2010