Engrenages

PROFILS D'ENGRENAGES CONJUGUÉS
Mating gear profiles, Gegenprofile

Notion étudiée par Euler et par Miquel en 1838.
Autre nom, donné par Miquel : courbes syntrépentes, littéralement "qui tournent ensemble".

Deux courbes (G₁) et (G₂) sont appelées profils conjugués associés aux centres de rotation O₁ et O₂ (les moyeux des engrenages) si on peut faire tourner (G₁) autour de O₁ et (G₂) autour de O₂ de sorte que les deux courbes restent constamment en contact (c'est-à dire tangentes sans glisser l'une sur l'autre).

Pour obtenir la courbe (G₂) connaissant la courbe (G₁), le moyeu O₁ et la distance d = O₁O₂ , il suffit de déterminer le mouvement plan sur plan dont la base est (G₁) et une roulette est le cercle de centre O₁ et de rayon d : la roulante est alors la courbe (G₂).

En désignant par les coordonnées polaires du point courant de (G₁) dans un repère centré en O₁, et de même pour (G₂) dans un repère centré en O₂, les relations entre (G₁) et (G₂) sont données par :

Dans le cas d'un roulement des deux courbes en sens contraire : Si donc l'équation polaire de (G₁) est mise sous la forme, l'équation polaire de (G₂) est où g est définie par : . Autrement dit une paramétrisation polaire de (G₂) est .
Si l'équation polaire de (G₁) est mise sous la forme , l'équation polaire de (G₂) est . Dans le cas d'un roulement des deux courbes dans le même sens :

Si donc l'équation polaire de (G₁) est mise sous la forme , l'équation polaire de (G₂) est où g est définie par : . Autrement dit une paramétrisation polaire de (G₂) est .
Si l'équation polaire de (G₁) est mise sous la forme , l'équation polaire de (G₂) est .

Remarque : cette distinction n'est pertinente que si l'on considère et positifs. Si l'on accepte des valeurs négatives, le cas 2 équivaut au cas 1 en changeant en son opposé.

Exemples :
    - si (G₁) est un cercle de rayon a et le moyeu en son centre, (G₂) est un cercle de rayon |d - a|.
    - si (G₁) est rectiligne, situé à une distance a de O, (G₂) a pour équation , ce qui donne :

si d > a :
avec si d = a :
si d < a :
avec (polygastéroïde avec e > 1)

    - si (G₁) est une ellipse, d'équation polaire (le moyeu est donc en un foyer), (G₂) est une polygastéroïde, d'équation polaire , avec (n représente le nombre de tours effectués par (G₁) pour que (G₂) fasse un tour) ; si est le demi-grand-axe de l'ellipse, les distances des moyeux sont données par pour des engrenages tournant en sens contraires, et pour des engrenages tournant dans le même sens.

Cas n = 1 (soit k = 2) :
(G₂) est une ellipse isométrique à (G₁) ; on dit que l'ellipse est isotrépente pour son foyer.
Cas n = 2 : (G₂) est une inverse de cacahuète. Remarque : pour une excentricité plus faible (inférieure à ) l'ellipse est incluse dans sa conjuguée.

Cas n = 3 :

Cas n = 1/2

- si (G₁) est une spirale logarithmique, (G₂) est une spirale logarithmique isométrique ; la spirale logarithmique est donc aussi une courbe isotrépente.
Ce mécanisme a été découvert par l'astronome Ole Rømer.
Il est utilisé dans le système "varistart", permettant d'agmenter progressivement la vitesse d'un engrenage.

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Cas n = 1 (soit k = 2) : (G₂) est une ellipse isométrique à (G₁) ; on dit que l'ellipse est isotrépente pour son foyer.	Cas n = 2 : (G₂) est une inverse de cacahuète. Remarque : pour une excentricité plus faible (inférieure à ) l'ellipse est incluse dans sa conjuguée.
Cas n = 3 :	Cas n = 1/2