Hyperboloïde à une nappe

HYPERBOLOÏDE À UNE NAPPE H₁
One-sheet hyperboloid, einschaliges Hyperboloide

Équation cartésienne :

, a ³ b.
Quand a = b : hyperboloïde à une nappe de révolution.
Quand a = b = c : hyperboloïde à une nappe équilatère.

Paramétrisations cartésiennes :

a) dont les lignes de coordonnées sont les hyperboles méridiennes et les ellipses orthogonales :
, ou bien, ou encore

b) dont les lignes de coordonnées sont l'une des familles de droites et les ellipses précédentes :
( = 1 pour la première famille, -1 pour la deuxième)

c) dont les lignes de coordonnées sont les deux familles de droites :

d) dont les lignes de coordonnées sont les lignes de courbure (a, b , c distincts): avec .

Ligne de striction : avec .
voir www.dma.unina.it/~nicla.palladino/catalogo/Descrizioni/21%204.htm
Équation cylindrique dans le cas de l’hyperboloïde de révolution : .
Élément de surface :
Cône directeur, qui est aussi le cône asymptote : .

L'hyperboloïde à une nappe peut être défini comme :
1) une quadrique;réglée ayant un centre de symétrie.
2) la réunion des droites rencontrant trois droites 2 à 2 non coplanaires et non parallèles à un plan fixe (lorsqu'elles le sont, on obtient le paraboloïde hyperbolique)
3) la réunion des droites (MN), les points M et N se déplaçant à vitesse constante sur deux cercles parallèles.

On réalise donc une portion d'hyperboloïde de révolution en tendant des élastiques entre deux tiges circulaires (les élastiques étant accrochés de façon régulière sur les tiges).

Ici, l'hyperboloïde est la réunion des droites et
et également la réunion des droites et .
Les sections de l'hyperboloïde par les plans verticaux tangents à l'ellipse de gorge sont les couples de droites sécantes de l'une et l'autre famille de droites incluses.

L'hyperboloïde à une nappe de révolution peut être défini comme la surface de révolution engendrée par une droite non coplanaire avec l'axe de révolution ou comme la surface de révolution engendrée par la rotation d'une hyperbole autour de son axe non transverse.

Vue des lignes de courbure de l'hyperboloïde à une nappe ; ce ne sont des cercles et des hyperboles que dans le cas de l'hyperboloïde de révolution.

Vue de l'une des deux familles de cercles incluse dans tout H1, même non de révolution.

Voir ici des hélices de l'hyperboloïde.
A cause de sa propriété d'être réunion de droites, l'hyperboloïde à une nappe, comme le paraboloïde hyperbolique est très utilisé en architecture.

Tours de refroidissement de centrale nucléaire.

Château d'eau à La Roche de Glun dans la Drôme A Kobé au Japon

Voir d'autres belles photos sur la page du mathouriste.

Structure formée à partir de 2 polygones réguliers à n côtés et 2n génératrices d'un hyperboloïde de révolution (joignant 2 milieux de côté de ces polygones) . Les 3n losanges gauches obtenus sont remplis par des génératrices de paraboloïde hyperbolique. (réalisation : Alain Esculier)

Sculpture d'Angel DUARTE (Lausanne, Suisse) utilisant 6 de ces structures.

surface suivante surface précédente courbes 2D courbes 3D surfaces fractals polyèdres