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HYPERBOLOÏDE À UNE NAPPE H1
One-sheet hyperboloid, einschaliges Hyperboloide

Surface étudiée par Christopher Wren en 1669.

 
Équation cartésienne : ,.
Quand a = b : hyperboloïde à une nappe de révolution.
Quand a = b = c : hyperboloïde à une nappe équilatère.
Pëtit exercice : quel est le type de la quadrique ?
Réponse : par changement de repère ON tel que OZ soit la droite x=y=z on tombe sur 
Donc un H1 pour , un cône pour , un H2 pour  tous de révolution autour de OZ.
Paramétrisations cartésiennes : 
a) dont les lignes de coordonnées sont les hyperboles méridiennes et les ellipses orthogonales :
, ou bien, ou encore 
b) dont les lignes de coordonnées sont l'une des familles de droites et les ellipses précédentes :
= 1 pour la première famille, -1 pour la deuxième)
c) dont les lignes de coordonnées sont les deux familles de droites (qui sont les lignes asymptotiques) :
 d) dont les lignes de coordonnées sont les lignes de courbure (a, b, c distincts):
avec(voir à système triple orthogonal)
Ligne de striction avec , intersection avec .
voir [Struik, p 195] et www.dma.unina.it/~nicla.palladino/catalogo/Descrizioni/21%204.htm
Équation cylindrique dans le cas de líhyperboloïde de révolution : .
Élément de surface : 
Courbure totale :  où  est la distance de O au plan tangent au point considéré. 
Cône directeur, qui est aussi le cône asymptote : .

L'hyperboloïde à une nappe peut être défini comme :
 1) une quadrique;réglée ayant un centre de symétrie.
 2) la réunion des droites rencontrant trois droites 2 à 2 non coplanaires et non parallèles à un plan fixe (lorsqu'elles le sont, on obtient le paraboloïde hyperbolique)
 3) la réunion des droites (MN), les points M et N se déplaçant à vitesse constante sur deux cercles parallèles.

On réalise donc une portion d'hyperboloïde de révolution en tendant des élastiques entre deux tiges circulaires (les élastiques étant accrochés de façon régulière sur les tiges).

Ici, l'hyperboloïde est la réunion des droites  et 
et également la réunion des droites  et .
Les sections de l'hyperboloïde par les plans verticaux tangents à l'ellipse de gorge sont les couples de droites sécantes de l'une et l'autre famille de droites incluses.
 

L'hyperboloïde à une nappe de révolution peut être défini comme la surface de révolution engendrée par une droite non coplanaire avec l'axe de révolution, ou comme la surface de révolution engendrée par la rotation d'une hyperbole autour de son axe non transverse.
 
Vue des lignes de courbure de l'hyperboloïde à une nappe ; ce ne sont des cercles et des hyperboles que dans le cas de l'hyperboloïde de révolution.
Sinon, ce sont des biquadratiques.

 
Vue de l'une des deux familles de cercles incluse dans tout H1, même non de révolution.

Voir ici des hélices de l'hyperboloïde, ainsi que les courbes de précession constante, tracées sur un hyperboloïde.

A cause de sa propriété d'être réunion de droites, l'hyperboloïde à une nappe, comme le paraboloïde hyperbolique est très utilisé en architecture.
 

Tours de refroidissement de centrale nucléaire.

Château d'eau à La Roche de Glun dans la Drôme
A Kobé au Japon

 

Voir d'autres belles photos sur la page du mathouriste.
 

Structure formée à partir de 2 polygones réguliers à n côtés et 2n génératrices d'un hyperboloïde de révolution  (joignant 2 milieux de côté de ces polygones) . Les 3n losanges gauches obtenus sont remplis par des génératrices de paraboloïde hyperbolique. (réalisation : Alain Esculier)

 
Sculpture d'Angel DUARTE  (Lausanne, Suisse) utilisant 6 de ces structures.

 
Lorsque deux "espaces solides" ont chacun un mouvement de rotation uniforme d'axes non sécants, les deux lieux des axes instantanés de rotation de leur mouvement relatif dans chacun des espaces (ou "axoïdes") sont deux hyperboloïdes de révolution qui roulent sans glisser l'un sur l'autre (notion équivalente dans l'espace à celle de profils conjugués dans le plan).

Ce beau théorème de cinématique est à l'origine des "engrenages hyperboloïdes" dont un exemple est reproduit ci-contre :

Voir ce livre, page 144.


 
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© Robert FERRÉOL , Jacques MANDONNET 2012