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COURBE DE GIRATION CONSTANTE
Curve
of constant gyration, Kurve aus konstanter Gyration
Courbe étudiée par moi-même suite
à une question de Franck
Rolland.
Animation ci-dessus réalisée par Alain Esculier. |
1) Courbe des roues avant :
Paramétrisation cartésienne : où t est l'angle de braquage des roues avant, k est égal à ( a est la distance entre les roues avant et arrière), est la vitesse angulaire de braquage des roues avant, et v la vitesse du véhicule. Abscisse curviligne : , angle tangentiel cartésien : , rayon de courbure : . Équation intrinsèque 1 : , équation intrinsèque 2 : . 2) Courbe des roues arrière :
où t est toujours l'angle de braquage des roues avant.
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La courbe de giration constante est la courbe décrite par les roues avant d'une voiture (mieux, d'un vélo) roulant à vitesse constante dont le conducteur tourne le volant à vitesse constante.
Plus précisément, c'est la courbe telle qu'une droite (D) passant par un point M de la courbe et faisant un angle avec la tangente proportionnel à l'abscisse curviligne ( (D) est l'axe de la voiture et le point M, les roues avant) reste tangente à une courbe en un point N (les roues arrières) situé à une distance constante de M.
C'est donc aussi la courbe dont la tractoire est telle que la laisse fait un angle avec la tangente qui est proportionnel à l'abscisse curviligne.
Voici quelques animations du mouvement pour une rotation complète du volant, avec une vitesse de rotation croissante.
k = 0,1 |
k = 0,2 |
k = 0,3 |
k = 0,4 |
k = 1 |
k = 5 |
On peut remarquer que si la courbe des roues avant se
reproduit à l'identique après que le volant ait fait un tour
complet, celle des roues arrière se reproduit seulement après
un demi-tour.
Evolution de la courbe sur deux périodes pour
k
croisant de 0,1 à 1 puis ci-desous de 1 à 5 (vitesse de rotation
du volant croissante).
On remarquera un sorte de déroulement de la clothoïde jusqu'à devenir une sorte de cycloïde allongée. |
Pour k tendant vers 0, la courbe de giration constante
s'identifie à la clothoïde
:
|
La courbe est fermée pour les valeurs de k telles que (et alors ), comme par exemple k = 0,261 ci-dessous : |
Démonstration de l'obtention de l'équation intrinsèque ci-dessus :
Roues avant :
abscisse curviligne s ; angle tangentiel cartésien :
Roues arrières : (angle de braquage = , a = distance entre les roues avant et les roues arrière) Rappels : où Rc est le rayon de courbure, et . La colinéarité de la vitesse des roues arrière avec s’exprime alors par Soit qui se simplifie bien en . |
On peut généraliser le problème au cas d'une loi de variation de l'angle de braquage quelconque ; voici par exemple une animation du cas d'une loi sinusoïdale :
Comparer avec la courbe
à rayon sinusoïdal, pour laquelle le rayon de courbure
varie sinusoïdalement en fonction de l'abscisse curviligne (alors
qu'ici, c'est la courbure qui varie sinusoïdalement).
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© Robert FERRÉOL 2008