Lemniscate de Gerono

LEMNISCATE DE GERONO
Gerono's lemniscate, Geronosche Lemniskate

Courbe étudiée par Grégoire de St Vincent en 1647 et Cramer en 1750.
Nom donné par Aubry en 1895.
Camille-Christophe Gerono, 1799 - 1891 : mathématicien français.
Autre nom : huit.

Paramétrisation cartésienne : ().
Équation cartésienne : ou ou encore .
Quartique rationnelle.
Paramétrisation cartésienne rationnelle : (, ).
Équation polaire : .
Paramétrisation cartésienne de l'image par une rotation de : avec .
Aire totale : .

La lemniscate de Gerono est un cas particulier de besace (voir cette page pour une construction) et de courbe de Lissajous (cf. la paramétrisation : ).

La lemniscate de Gerono est l'antihyperbolisme d'un cercle par rapport à son centre et une tangente.

Elle s'obtient aussi par transformation de Newton à partir de deux cercles tangents comme illustré ci-contre :

Autre construction, dûe à L. I. Magnus : Un point P décrivant un cercle de centre O, on projette P en Q sur un diamètre, puis Q en R sur (OM); la lemniscate de Gerono est le lieu du point M de [PQ] tel que QM = QR.

L’équation montre qu’elle peut s’obtenir comme courbe polyzomale, médiane des paraboles et .

Comme toute courbe de Lissajous, La lemniscate de Gerono est la projection de deux couronnes sinusoïdales :
1) Projection sur xOy de la courbe de la crêpe, de paramétrisation : .

2) Projection sur xOy de la fenêtre de Viviani : .

Plus généralement, la lemniscate de Gerono est une vue de l’hippopède, intersection d’une sphère avec un cylindre tangent.

La lemniscate de Gerono peut être obtenue à partir de celle de Bernoulli de la façon suivante : tracer sur la sphère de centre O et de rayon a la courbe ayant la lemniscate de Bernoulli comme stéréographique de pole sud (courbe qui est la courbe de Viviani), et projeter cette courbe orthogonalement sur xOy. Bernoulli est en rouge, Viviani, qui se projette en Gerono, est en bleu.

Une différence entre la lemniscate de Gerono et celle de Bernoulli : la première possède 6 sommets (4 maximums de courbure et deux minimums) comme le montre la vue ci-contre avec sa développée ; celle de Bernoulli ne possède que deux sommets, aux deux extrémités.

Voir aussi la bouteille de Klein dont une représentation peut se faire à partir d'un huit, de même que le pseudo-bonnet croisé.

Si l'on change l'équation en , on obtient la courbe en rouge ci-contre, d'équation polaire , et de paramétrisation : , dont la réunion avec la lemniscate de Gérono done une courbe proche du noeud pap.

Voir ici comment "épaissir" un huit : .

courbe suivante courbe précédente courbes 2D courbes 3D surfaces fractals polyèdres

La lemniscate de Gerono est l'antihyperbolisme d'un cercle par rapport à son centre et une tangente.
Elle s'obtient aussi par transformation de Newton à partir de deux cercles tangents comme illustré ci-contre :
Autre construction, dûe à L. I. Magnus : Un point P décrivant un cercle de centre O, on projette P en Q sur un diamètre, puis Q en R sur (OM); la lemniscate de Gerono est le lieu du point M de [PQ] tel que QM = QR.
L’équation montre qu’elle peut s’obtenir comme courbe polyzomale, médiane des paraboles et .

La lemniscate de Gerono peut être obtenue à partir de celle de Bernoulli de la façon suivante : tracer sur la sphère de centre O et de rayon a la courbe ayant la lemniscate de Bernoulli comme stéréographique de pole sud (courbe qui est la courbe de Viviani), et projeter cette courbe orthogonalement sur xOy.	Bernoulli est en rouge, Viviani, qui se projette en Gerono, est en bleu.
Une différence entre la lemniscate de Gerono et celle de Bernoulli : la première possède 6 sommets (4 maximums de courbure et deux minimums) comme le montre la vue ci-contre avec sa développée ; celle de Bernoulli ne possède que deux sommets, aux deux extrémités.