LEMNISCATE DE GERONO
Gerono's lemniscate, Geronosche Lemniskate
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LEMNISCATE DE GERONO
Gerono's lemniscate, Geronosche Lemniskate
| Courbe étudiée par Grégoire de St
Vincent en 1647 et Cramer en 1750.
Nom donné par Aubry en 1895. Camille-Christophe Gerono, 1799 - 1891 : mathématicien français. Autre nom : huit. |
 |
Paramétrisation cartésienne : 
( ).
Équation cartésienne : |
La lemniscate
de Gerono est un cas particulier de besace
(voir cette page pour une construction) et de courbe
de Lissajous (cf. la paramétrisation : 
).
La lemniscate de Gerono est l'antihyperbolisme d'un cercle par rapport à son centre et une tangente.
L’équation 
montre qu’elle peut s’obtenir comme courbe
polyzomale médiane des
paraboles 
et 
.
.
2) Projection sur xOy de la fenêtre
de Viviani : 
.
Plus généralement, la lemniscate de Gerono est une vue de l’hippopède, intersection d’une sphère avec un cylindre tangent.
La lemniscate de Gerono peut être obtenue à partir de celle de Bernoulli de la façon suivante : tracer sur la sphère de centre O et de rayon a la courbe ayant la lemniscate de Bernoulli comme stéréographique de pole sud (courbe qui est la courbe de Viviani), et projeter cette courbe orthogonalement sur xOy.
Bernoulli est en rouge, Viviani, qui se projette en Gerono, est en
bleu.
Voir aussi la bouteille
de Klein dont une représentation peut se faire à partir
d'un huit, de même que le pseudo-bonnet
croisé.
Si l'on change l'équation 
en  , on
obtient la courbe en rouge ci-contre, d'équation polaire  ,
et de paramétrisation :  ,
dont la réunion avec la lemniscate de Gérono done une courbe
proche du noeud pap. |
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Voir ici comment
"épaissir" un huit : 
.
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© Robert FERRÉOL, Jacques MANDONNET 2008
ou encore 
(
, 
).
.
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