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TRACTOIRE
Tractory, Schleppkurve oder Traktorie

Animation réalisée par Alain Esculier


Autres noms : tractrice (mais nous avons préféré réserver ce nom au cas où la base est rectiligne), courbe de l'âne (récalcitrant).
Site :
Les traces d'un vélo.

 
Équation différentielle : f(x0,y0) = 0 est l'équation de la base.
Paramétrisation  cartésienne :  où  est solution de .

Une courbe (C) parcourue par un point M est une tractoire d'une courbe (C0) - la base - parcourue par un point M0 si la longueur du segment [M0M] -  la laisse -  reste constante et la droite (M0M) reste tangente à (C). Par exemple, les roues arrières d'une voiture (mieux, d'un vélo) décrivent une tractoire de la courbe décrite par les roues avant (en marche avant ou arrière).
Inversement la courbe (C0) s'obtient à partir de la courbe (C) en reportant une longueur constante sur la tangente à (C) ; (C0) est alors appelée courbe équitangentielle de (C).

Contrairement à celle de courbe de poursuite, cette notion n'est pas cinématique (la tractoire ne dépend pas de la vitesse du point M) ; cependant en régime stationnaire la courbe de poursuite d'un chien après un lièvre de même vitesse est une tractoire de la trajectoire du lièvre.

Propriété : la normale en M0 à (C0) et la normale en M à la tractoire (C) se coupent au centre de courbure de la tractoire (d'où la cosntruction de la développée de cette dernière).

Remarque : la courbe équitangentielle peut être vue comme la glissette d'un point d'une droite glissant sur une courbe.

que lorsque la tractoire (C) glisse sur une droite en un point fixe, la glissette de l'extrémité de la laisse est la base (C0).

Exemples :

    - la tractoire de droite, qui est la tractrice

    - la tractoire de cercle

    - la tractoire de la courbe de giration constante (définie par le fait que la laisse fait un angle proportionnel à l'abscisse curviligne avec la tangente).

    - Voir une animation de tractoire de sinusoïde à :  http://did.mat.uni-bayreuth.de/~susanne/verfolgung/Sintraktrix.html

Ci-dessous, vue animée d'une courbe équitangentielle (en bleu) de néphroïde (en rouge) ; la néphroïde est donc une tractoire de cette courbe.

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© Robert FERRÉOL 2012