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SPIRALE D'OR, SPIRALE DE FIBONACCI
et spirales naturelles
Golden spiral, Fibonacci's spiral, goldene Spirale, Fibonaccische Spirale

la spirale d'or en arc de cercles
la spirale d'or logarithmique ; vous voyez une différence ?
La figure est construite à partir d'un rectangle d'or ABCD, avec AB = 1 et BC = j = (1 + Ö5)/2 = le nombre d'or ; on trace le carré ABA'D' et on obtient un rectangle d'or A'B'C'D' de côtés 1/j et 1.
On réitère l'opération pour obtenir un rectangle A''B''C''D'' et ainsi de suite, et de même avec des carrés extérieurs ; la spirale d'or est formée de quarts de cercles successifs inscrits dans chaque carré.

Les diagonales en pointillé BD et CD' se coupent au même point O qui est le point asymptote de la spirale, appelé "oeil de Dieu" (le nombre d'or étant aussi "la divine proportion" !)

Les droites AA" et A'A''' sont orthogonales et se coupent en O.

Les nombres indiqués sont les côtés des carrés.

 
 
La spirale d'or possède une propriété "eadem mutata resurgo" partielle, à savoir qu'elle est invariante par la similitude de centre O, de rapport  et d'angle p / 2 ; 
elle approche donc une vraie spirale logarithmique avec m défini par emp/2 = j, donc d'équation polaire  laquelle passe par les points A, A', A" etc...

A chaque tour le rayon de la spirale d'or est multiplié par  ; l'angle tangentiel polaire constant est 

 


La spirale d'or (en rouge) et la vraie spirale logarithmique (en vert)

 
 
Si, au lieu de partir d'un rectangle d'or, on part d'un rectangle de Fibonacci, avec AB = Fn-1 et BC = Fn, où Fn-1 et Fn  sont deux nombres de Fibonacci consécutifs, on obtient une spirale formée de quarts de cercles dite de Fibonacci qui approche la spirale d'or, mais qui ne possède pas la propriété "eadem mutata resurgo".

 
On peut aussi partir du triangle d'or (isocèle d'angle au sommet p/5) ; on obtient alors une spirale que l'on peut appeler spirale d'or triangulaire ; cette spirale tournée de 3p/5 est agrandie dans un rapport j ; elle approche donc la spirale logarithmique  ; le coefficient d'agrandissement à chaque tour est de  et l'angle tangentiel polaire est d'environ 76°.

 
Voir aussi la spirale de Padovan, dont le coefficient d'agrandissement à chaque tour est la puissance sixième du nombre de Padovan soit environ 5,4.

 
 
On trouve sur ce site une justification du fait que la coquille des nautiles approcherait une spirale d'or, mais ceci est manifestement contredit par une vue directe : la spirale du nautile est nettement plus resserrée et des mesures expérimentales montrent que son coefficient d'agrandissement par tour est d'environ 3 ce qui est nettement inférieur au 6,9 de la spirale d'or...

Ammonite : coefficient d'agrandissement nettement moindre....

La vrille du petit pois approcherait la spirale d'or triangulaire...

Comparer la construction de la spirale d'or à celle de la spirale à n centres, qui approche, elle, une spirale d'Archimède.
 



Timbre suisse de 1987


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© Robert FERRÉOL, Jacques MANDONNET 2013