Spirale d'Archimède

SPIRALE D'ARCHIMÈDE
Archimedian spiral, archimedische (od. lineare) Spirale

Découverte de la courbe attribuée à Conon de Samos, disciple d'Archimède ; étude moderne par Sacchi en 1854.
Archimède de Syracuse (287-212 av. J.C.) : savant grec.
Lien vers une animation du compresseur à spirale.

Spirale de pas

:
Équation polaire :

Courbe transcendante.
Absvcisse curvilgne : .
Longueur de la n-ième spire obtenue pour :

où est la moyenne des longueurs des cercles de longueur ne et (n +1)e.
Aire balayée par le rayon vecteur pour : , de sorte que : .

La spirale d'Archimède est la trajectoire d'un point se déplaçant uniformément sur une droite d’un plan, cette droite tournant elle-même uniformément autour d'un de ses points (réalisée par exemple par le sillon d'un bon vieux disque vinyle) ; ici, O est le centre de rotation, r = 0 pour q = 0.

Bien voir tout de suite la différence avec la spirale logarithmique

Par exemple, une personne située sur un plateau tournant à vitesse constante et se dirigeant à vitesse constante vers le centre décrit dans le repère fixe une spirale d'Archimède (voir la courbe du nageur et voir aussi la développante de cercle pour le cas où la personne ne se dirige pas vers le centre).

Remarque : toute conchoïde de cette spirale, d'équation , est encore une spirale d'Archimède, image de la précédente par une rotation d’angle -b/a. Ceci se traduit cinématiquement par le fait que si l'on fait tourner une spirale d'Archimède autour de son centre d'un mouvement uniforme, l'intersection de la spirale avec une droite passant par le centre décrit un mouvement uniforme (ceci sert à transformer un mouvement circulaire en mouvement rectiligne, par exemple pour le remplissage régulier d'une bobine de fil - cf les anciennes machines à coudre ; voir aussi à développante de cercle).

Came en forme de coeur, formée de deux branches de spirales d'Archimède : le mouvement de rotation est transformé en la succession de deux mouvements rectilignes uniformes de sens contraires.

A droite de la machine à coudre, on distingue la came en forme de coeur.

Autre application : si un bâton de longueur 2a est astreint à coulisser au sommet d'une spirale d'Archimède, et son milieu à passer par la boucle centrale de cette spirale, les extrémités décrivent la came en forme de coeur précédente.

Théorème de Chasles : La spirale d'Archimède est la roulette obtenue en faisant rouler une droite sur un cercle de centre O et de rayon a et en prenant un point traceur situé à une distance à cette droite égale au rayon du cercle. Le projeté de ce point traceur sur la droite traçant, lui, une développante de cercle, on en déduit que la spirale d'Archimède est aussi la podaire de la développante de cercle.
Cette développante de cercle, qui se construit donc très simplement en faisant rouler une droite sur un cercle est en fait un moyen simple de construire de manière aprochée la spirale d'Archimède.

De même que la spirale d'or pour la spirale logarithmique, la spirale d'Archimède possède des constructions approchées par des arcs de cercles, comme la spirale à 4 centres ci-contre ; cette construction se généralise à un nombre quelconque de centres.

Pb : la spirale d'Archimède noire (tangente en son centre à la diagonale du carré) est-elle asymptote à la spirale à 4 centres, comme le laisse suggérer cette figure ?

La spirale d'archimède peut aussi être définie comme courbe à sous-normale polaire constante.

C'est enfin la projection (orthogonale) de la spirale conique de Pappus sur un plan orthogonal à l'axe du cône.

La spirale d'Archimède est :

- une quadratrice : si A est le point d'angle polaire 2p et B le point d'intersection de la tangente en A avec Oy, on a OB / OA = 2p.

- une trisectrice et même une n-sectrice : si une droite d'angle polaire q la coupe en M(r), le cercle de centre O et de rayon r/n la coupe en q/n.

Voir à couple roue-route le roulement d'une spirale d'Archimède sur une parabole.

Voir aussi la spirale conique de Pappus, analogue conique de la spirale d'Archimède, et la clélie, son analogue sphérique.

Toute suite de points du plan complexe dont les modules et les arguments en progression arithmétique décrit une spirale d'Archimède.

Par exemple, sur la figure ci-dessous ont été tracés, pour n = 30, les points de coordonnées polaires (2k ; (k+2l)p/n), en bleu si l est pair, en rouge sinon ; ces points sont situés en quinconce à l'intersection de cercles concentriques de rayons en progression arithmétique et de droites concourantes ; mais ils sont aussi situés sur les spirales d'archimède d'équation , d'où un joli effet.

Mosaiques en spirale de Guy Barthélémy

courbe suivante courbe précédente courbes 2D courbes 3D surfaces fractals polyèdres

Remarque : toute conchoïde de cette spirale, d'équation , est encore une spirale d'Archimède, image de la précédente par une rotation d’angle -b/a. Ceci se traduit cinématiquement par le fait que si l'on fait tourner une spirale d'Archimède autour de son centre d'un mouvement uniforme, l'intersection de la spirale avec une droite passant par le centre décrit un mouvement uniforme (ceci sert à transformer un mouvement circulaire en mouvement rectiligne, par exemple pour le remplissage régulier d'une bobine de fil - cf les anciennes machines à coudre ; voir aussi à développante de cercle).
Came en forme de coeur, formée de deux branches de spirales d'Archimède : le mouvement de rotation est transformé en la succession de deux mouvements rectilignes uniformes de sens contraires.	A droite de la machine à coudre, on distingue la came en forme de coeur.
Autre application : si un bâton de longueur 2a est astreint à coulisser au sommet d'une spirale d'Archimède, et son milieu à passer par la boucle centrale de cette spirale, les extrémités décrivent la came en forme de coeur précédente.