Paramétrisation polaire :   où  ;  on a (voir figure ci-dessous). Équation polaire : . Équation polaire lorsque a = c : . Équation cartésienne de (G) È {0}: . Sextique tricirculaire,elliptique.

Une courbe de Watt est le lieu du milieu de la bielle [PQ] d'un quadrilatère articulé (APQB) vérifiant AP = BQ , A et B étant fixes - c'est donc un cas particulier de courbe du trois-barres à manivelles de même longueur ; ici, A(0, a), B(0, -a), AP = BQ = b, PQ =2c.

Autrement dit, une courbe de Watt est le lieu du milieu d'un segment de longueur constante joignant deux cercles de même rayon (les cercles (C_A) et (C_B) de centres A et B et de rayon b) ; penser par exemple au milieu d'une bielle joignant deux roues.

La courbe est non vide ssi   et elle passe par O ssi a, b, c sont les côtés d'un triangle, c'est-à-dire , soit  ; le point O est alors à la fois point double et point d'inflexion de chaque branche, qui est alors presque rectiligne au voisinage de O.
Si l'on cherche les points où les tangentes en O recoupent la courbe, on trouve que ces points sont confondus avec O (autrement dit, que le contact est d'ordre deux) lorsque .

Watt qui recherchait pour les mécanismes des machines à vapeur à obtenir un mouvement le plus rectiligne possible a construit son mécanisme dans ce cas, qui présente de plus l'intérêt que si les deux barres AP et BQ sont horizontales au passage de M en O, la barre QP est verticale.

L'intérêt d'obtenir un mouvement rectiligne par système articulé est d'éviter les frottements dus aux glissières, sources d'usure.
 

Lorsque la bielle [PQ] a même longueur que la barre fixe [AB] (c = a) , la courbe se décompose en la réunion du cercle (O, b) (cas où (APQB) est un parallélogramme), et d'une courbe de Booth ; on obtient un ovale si b > 2a , deux cercles si b = 2a (cas où le quadrilatère est un carré), une lemniscate si b < 2a, qui est de Bernoulli quand  .
NB : dans les animations ci dessous, P parcourt (C_B) à vitesse constante, ce qui provoque des saccades sur le parcours de Q sur (C_B).

cas a = c < b/2 : ovale de Booth + cercle

cas a = c = b/2 : trois cercles; pour les deux petits cercles rouge, le quadrilatère articulé est entièrement replié sur lui-même

cas a = c > b/2 : lemniscate de Booth + cercle

D'une façon générale, le passage par O est obtenu pour , formule donnant aussi les angles polaires des tangentes correspondantes. On remarque que si d = 0, soit , les deux tangentes sont alors confondues.

Dans le cas a ¹ c les courbes prennent donc les formes suivantes :
 

b > a + c et c < 2a :  courbe ayant deux composantes

2a £ c < b - a :  courbe à deux croisements

|a-b| < c < a : huit vertical

 

b/2  £  a  <  c  <  Ö(a2 + b2) :  courbe à trois croisements.

c =  Ö(a2 + b2) : huit vertical avec croisement tangent.

Ö(a2 + b2) < c < a + b : huit vertical.

Dans le cas où la courbe a deux composantes connexes, les 2 points d'intersections avec l'axe de symétrie médians ont une courbure nulle si ; dans le cas a = 2 , c = 1 on a b = ; l'approximation avec une droite est alors meilleure qu'avec le dispositif de Watt, mais les barres se croisent, ce qui est gênant pour une utilisation industrielle.

Mécanisme de Tchébychef a = 2 , b = 5, c = 1

Scie utilisant le mécanisme de Tchebycheff

Mais voici ce que devient la partie pseudo-rectiligne après élongation des ordonnées :

Voir aussi le mécanisme de Roberts à courbe du trois-barres.
 

Un mouvement mathématiquement rectiligne obtenu par système articulé nécessite au moins 5 barres mobiles et est obtenu en particulier avec le mécanisme de Hart, ou l'inverseur de Peaucelier.

voir www.math.unifi.it/archimede/archimede/curve/geomeccan2.html#5
 

courbe suivante

courbe précédente

courbes 2D

courbes 3D

surfaces

fractals

polyèdres

© Robert FERRÉOL, Jacques MANDONNET 2000