Coube étudiée par Bertrand en 1850, Serret en 1851, Bioche en 1889 puis par Darboux. Joseph Bertrand (1822-1900) : mathématicien français.  [Brocard Lemoyne t2] p 7 , [Gomes t2] p 447 , [Mir] p58 , [Berger Gostiaux] p 351, [Lelong- Ferrand] p 695, [Valiron] p 421, [Loria 3D] p 90, voir la bibliographie.

 

Équation intrinsèque : . Paramétrisation cartésienne :  où  est la paramétrisation d'une courbe à courbure constante (ou cercle gauche), et  la paramétrisation d'une courbe à torsion constante.

Les courbes de Bertrand sont les courbes 3D dont la courbure et la torsion sont liées par une relation affine non linéaire (d'où l'équation intrinsèque ci dessus),  le cas linéaire donnant les hélices.

Une courbe  est une courbe de Bertrand si et seulement s'il existe une courbe  distincte de  ayant les mêmes normales principales que .

Hormis le cas de l'hélice circulaire, la courbe  est unique ; la distance entre deux points correspondants le long de la normale commune est constante, et l'angle que font les tangentes correspondantes est constant.

Exemples : l’hélice circulaire et plus généralement les cercles gauches (cas où b = 0 ; l'angle entre les tangentes est alors droit et chaque courbe est le lieu des centres de courbure de l'autre).
 

courbe suivante

courbe précédente

courbes 2D

courbes 3D

surfaces

fractals

polyèdres

© Robert FERRÉOL  2018