Les anneaux de Borromée tirent leur nom d'une célèbre famille de princes italiens de la Renaissance, les Borromée, qui les adoptèrent comme symbole héraldique. Ils sont gravés dans la pierre de leur château, sur l'une des îles Borromée du lac Majeur (isola bella), dans le nord de l'Italie. On retrouve aussi cet entrelacs sur des pierres sculptées du IXe siècle environ, à Gotland, une île de la mer Baltique au large des côtes sud-est de la Suède. On pense qu'ils correspondent à des légendes découlant de mythes nordiques. Par ailleurs, les peuples du nord de la Scandinavie connaissent une représentation des anneaux de Borromée en forme de triangles sous le nom de "triangle d'Odin", ou "noeud du tué". Le symbole était également gravé sur les montants des lits utilisés lors des funérailles en mer.  Les photos de ce site marquées © sont de Peter Cromwell. Voir aussi son site, entièrement consacré aux anneaux de Borromée. Voir aussi le site d'Alain Esculier.

Représentation par trois couronnes sinusoïdales à trois arches tracées sur trois cylindres à axes parallèles et centrées au sommet d'un triangle équilatéral de côté le double du rayon commun des trois cylindres : Paramétrisation cartésienne :  avec . Représentation par 3 ellipses dont les grands axes sont deux à deux orthogonaux : avec a > b.

entrelacs senestre : chaque anneau est en dessus du suivant si on tourne dans le sens trigonométrique, donc ils "descendent".

entrelacs dextre : chaque anneau est en dessus du suivant si on tourne dans le sens trigonométrique, donc ils "montent".

Les anneaux de Borromée forment un entrelacs de trois noeuds triviaux, connectés comme dans les représentations ci-dessus : ces deux représentations, image miroir l'une de l'autre sont en apparence distinctes, mais donnent en fait des entrelacs topologiquement équivalents (faire passer deux anneaux à l'intérieur du troisième pour passer de l'un à l'autre).

Il existe 3 autres entrelacs de 3 anneaux à 4 croisements:
 

© Un couple d'anneaux enlacés

© Deux couples d'anneaux enlacés

© les trois anneaux sont enlacés deux à deux.

Dans les "vrais" anneaux de Borromée, aucun des couples d'anneaux ne s'interpénètrent : il suffit de sectionner l'un des trois pour que l'ensemble se disjoigne : la notion générale est celle d'entrelacs brunnien.

Le fait, qui semble évident, que l'on ne peut pas réaliser la configuration des anneaux de Borromée avec des cercles sans que ceux-ci ne se touchent est pourtant très difficile à démontrer, voir ici.
 
 

A gauche, vue d'anneaux borroméens situés dans 4 plans orthogonaux, due à Alain Esculier ; il est remarquable que cette configuration est celle des bords des 3 rectangles permettant la construction de l'icosaèdre régulier (à droite).

 

Généralisation à n anneaux circulaires dont les centres sont situés aux sommets d'un polygone régulier ; l'enlacement choisi est le passage alternatif dessus-dessous. On constate que la coupure d'un anneau ne libère les autres (autrement dit que l'entrelacs n'est brunnien) que lorque n est impair. Images réalisées avec povray par Alain Esculier.

Les anneaux de Borromée sont un symbole fort de la cohésion nécessaire d'un groupe : des sociétés commerciales l'utilisent comme logo, des campus universitaires les font trôner à leur entrée et c'est l'un des éléments de la symbolique lacanienne.
 

un campus américain : anneaux dextres

une université italienne : anneaux dextres

festival américain de littérature : les 3 anneaux sont 2 à 2 enlacés.

une marque de bière : anneaux senestres

Krupp Thyssen ; pas d'enlacement...

 
 

© L'armoirie de la famille Borromée. Ce sont des faux anneaux de Borromée : les deux anneaux supérieurs sont enlacés avec celui du dessous.

© Le symbole gravé sur un pot de fleurs ; faux également : les deux anneaux supérieurs sont enlacés.

© Le symbole sur une gille de jardin ; de nouveau des faux : les anneaux sont deux à deux enlacés.

 

Triangles impossibles de Penrose enlacés en anneaux de Borromée. Création de Francis Casiro, d'après Oscar Reutersvärd.

Hexagones de Borromée, par Alain esculier

Création celtique de Davis Courtney comportant deux trios d'anneaux de Borromée

 

courbe suivante

courbe précédente

courbes 2D

courbes 3D

surfaces

fractals

polyèdres

© Robert FERRÉOL, Jacques MANDONNET 2010