Courbe de Polya

COURBE DE POLYA
Polya's curve, Polyasche Kurve

Courbe étudiée par Polya en ?

Code maple de tracé :
polya:=proc(A,B,n,e)
local C;
if n=0 then [A,B] else C:=(A+B)/2+e*I*(B-A)/2:
polya(C,A, n-1,-e),
polya(C,B,n-1,-e)fi end:
n:=7:display(seq(complexplot(polya(0,1,n,1)[k]),k=1..2^n),axes=none,scaling=constrained);

Étant donné un triangle ABC, isocèle rectangle en C, la courbe du dragon est l'attracteur dans le plan des deux similitudes indirectes transformant, l'une (A,B) en (C,A), l'autre (A,B) en (C,B) ; ces deux similitudes étant de rapport , la dimension fractale de la courbe de Polya, qui est compact et connexe, est ;ce qui est noramal puisque l'attracteur n'est alors autre que le triangle plein ABC, réuni avec son symétrique par rapport à (AC).

En partant de [AB], voici la suite des compacts convergeant vers cette courbe :

l'attracteur avec ses deux similitudes internes : Pas très fractal !

Comme pour la courbe du dragon, il y a une définition par pliage, mais ici, on plie la feuille alternativement dans un sens et dans l'autre.

La suite S_ndes sens gauche (G) ou droite (D) des plis à l'étape n :

S₁ = D
S₂ = DDG
S₃ = GDDDGGD

possède alors pour définitions :

DEF 1 : où la notation S' signifie que le mot est écrit à l'envers et la notation S" signifie qu'on intervertit les D et les G.

DEF 2 : s'obtient à partir de en intercalant alternativement des D et des G, en commençant alternativement par un D ou un G ; par exemple :

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