k < 1

k > 1

 
 
 

Courbe étudiée par Poncelet en 1862 (applications d'analyse et de géométrie, p. 460) Nom donné par Poncelet par analogie avec des cornes de chèvre (capra en latin). Ref : Loria  page 244 et 788.

 

Paramétrisation cartésienne :  Équation polaire :  où . Équation cartésienne : . Quartique rationnelle circulaire.

 

Etant donné un point fixe A(a, 0) et un cercle (C) de centre O et de rayon ka, la capricornoïde  est le lieu de l'extrémité M d'un angle droit POM, le point P décrivant le cercle (C), et le point M appartenant à la droite (AP). Remarque : si on échange les rôles de A et O, on obtient la courbe de Jerabek, qui a une forme similaire pour k > 1.   La transformation  est involutive par construction. Définie analytiquement par , c'est une transformation quadratique à l'instar de la transformation de Newton.

k > 1

k < 1

Dessin de Gino Loria

Lorsque A est à l'intérieur du cercle (k > 1), la courbe est fermée, incluse dans le cercle, et possède un point double crunodal (A) et un point double tacnodal (O).

Lorsque A est sur le cercle (k = 1), on obtient la strophoïde droite :  (construction de Pierre Apel).

Lorsque A est à l'extérieur (k < 1), il y a un point double crunodal et un point double tacnodal, et deux asymptotes.

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