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CYCLOÏDE
Cycloid, Zykloide

Courbe étudiée par Charles Bouvelles en 1501, Mersenne et Galilée en 1599, Roberval en 1634, Toricelli en 1644 etc...!  Cette courbe n'était donc pas connue des Grecs.
Du grec kuklos : cercle, roue ; nom donné par Galilée.

 
Paramétrisation cartésienne :  (voir ici le calcul).
Autre paramétrisation :  (voir à brachistochrone de longueur fixée).
Paramétrisation complexe : .
Équation cartésienne : .
Équation différentielle :  ou , elle-même intégrale première de l'équation : , qui traduit le fait que RC = 2N (où N est la « normale »  ).
Est également solution de    et de .
Abscisse curviligne : 1)  (soit ) ou 2) .
Angle tangentiel cartésien : 1)   ou 2)  .
Rayon de courbure : 1)   ou 2) 
Équation intrinsèque 1 (forme 1)): .
Équation intrinsèque 2 (forme 1)) : .
Longueur d'une arche : 8R ; aire  : 3pR2.

La cycloïde est la courbe décrite par un point d'un cercle de rayon R roulant sans glisser sur une droite (D) (ici laxe Ox) ; cest donc un cas particulier de roulette.

On peut aussi définir la cycloïde comme la trajectoire dun mouvement composé dun mouvement rectiligne uniforme et dun mouvement circulaire uniforme de même vitesse (de paramétrisation complexe :  ) ; autrement dit, si vous avancez régulièrement le long dun tableau tenant une craie à la main dun mouvement circulaire régulier de même vitesse que votre mouvement propre (dun sens ou dun autre), vous tracez une cycloïde (sans la condition dégalité des vitesses, on obtient une trochoïde).

La cycloïde est un cas particulier de courbe cycloïdale, avec les épicycloïdes et les hypocycloïdes ; c'est aussi une courbe de Ribaucour.
 
La cycloïde peut aussi être définie par le fait qu'étant donné deux droites parallèles, les deux points I et N d'intersection de la tangente et de la normale avec ces deux droites sont tels que la droite (IN) reste orthogonale à ces deux droites.

La développée de la cycloïde est une cycloïde translatée :

La développante d'une cycloïde passant par l'un des sommets est donc aussi une cycloïde translatée.
 
La cycloïde est donc en quelque sorte un point fixe de l'application développante, et l'on a le théorème de « convergence » associé ci-contre : Si on part d'un arc compact D0 de classe C2 sans point d'inflexion et dont les tangentes aux extrémités A = A0 et B = B0 sont orthogonales, sa développante D1 qui passe par A aura les mêmes propriétés : soit A1= A et B1 ses extrémités. On considère la développante D2 de D1 qui passe par B1, et on continue le processus. On ramène toutes les courbes Dnobtenues dans un même rectangle par des translations adéquates de direction la tangente en B à D, de façon que D2n+1 ait A pour origine et que D2n ait B pour origine. Alors D2n+1 et D2n tendent uniformément vers deux demi-arches de cycloïde droite.
La développante passant par le point de rebroussement est, elle, la courbe (parallèle à une cycloïde) de paramétrisation : .
Il se trouve que c'est aussi, à homothétie près, la roulette du point de rebroussement d'une cardioïde roulant sur et à l'extérieur d'une cycloïde de même longeur ! (Si la cardioïde roule à l'intérieur, la roulette est rectiligne)

 
 Le diamètre du cercle traceur enveloppe une autre cycloïde, qui est l'image de la cycloïde de départ dans une homothétie de rapport 1/2. Il se trouve que la caustique au soleil pour des rayons perpendiculaires à l'axe de roulement est cette même cycloïde.
La radiale de la cycloïde est un cercle de rayon 2R :

 
 
Sa courbe de Mannheim est également un cercle, de rayon 4R (cf. l'équation intrinsèque 1) ; c'est cette propriété qui est sous-jacente à cette étrange courbure d'un disque en coquille Saint Jacques. Lorsque la courbe verte atteint sa courbure maximale, elle est une arche de cycloïde, ainsi que la courbe rouge supérieure, qui est sa développée.
Animation due à Gérard Lavau sur une idée de Samuel Boureau.
Démonstration de ce fait, par Gérard Lavau :
Considérons un disque visualisé sous forme d'un diamètre et d'un certain nombre de cordes orthogonales à ce diamètre. Le diamètre est considéré comme flexible, les cordes restant perpendiculaire à celui-ci ; on courbe ce diamètre au maximum, sans que les cordes ne se chevauchent. Cela impose que le rayon de courbure de la courbe finale suivie par le diamètre déformé soit en tout point égale à la demi-longueur de la corde en ce point. Supposons que le diamètre soit initialement défini par y = 0 et . Alors la demi-longueur de la corde en x vaut . On cherche donc la courbe dont l'abscisse curviligne s varie de 1 à 1 et telle qu'en s, le rayon de courbure vaut . Une telle courbe est une cycloïde. La courbe verte intermédiaire a été choisie comme ayant un rayon de courbure .

La roulette de la pointe d'une cardioïde roulant sur une cycloïde de même longueur est rectiligne :

Les trajectoires orthogonales des cycloïdes translatées le long de leur base sont des cycloïdes symétriques :
La trajectoire d'une particule de masse m et de charge q soumise sans vitesse initiale à un champ électrique et un champ magnétique orthogonaux uniformes d'intensités E et B est une cycloïde orthogonale au champ magnétique :  avec  = vitesse moyenne suivant Ox et .

Voir d'autres propriétés remarquables de la cycloïde à brachistochrone, tautochrone, isochrone, caustique et radiale.

Voir aussi la surface minimale de Catalan, seule surface minimale ayant la cycloïde comme géodésique.
 
 
Démonstration due à Roberval (1636) du fait que l'aire d'une arche de cycloïde est égale à celle de 3 disques générateurs :

 


 

Les pavages de rue dits "en arceaux" ou "en queue de paon" rappellent la figure de la cycloïde et de ses développées successives reproduite en fond de cette page.


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© Robert FERRÉOL, Jacques MANDONNET 2012