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HYPERBOLE ÉQUILATÈRE
Rectangular hyperbola, gleichseitige Hyperbel

Équation cartésienne réduite : . Dans le repère tourné d'un huitième de tour : .
= demi-axe focal ; 
foyers : F(, 0) et F'(-, 0) .
directrices : droites d'équation x et x = -  .
Paramétrisation cartésienne :  (avec  ; forme choisie dans la suite).
ou  (avec  ).
Équation polaire :  (c'est donc un cas particulier de spirale sinusoïdale).
Equation polaire générale d'une hyperbole équilatère passant par O(en complexes : )
Abscisse curviligne : .
Rayon de courbure : .
Équation bipolaire : .
Équation polaire (pôle F, axe Fx) : .

L' hyperbole équilatère est l'hyperbole à axes (ou asymptotes) perpendiculaires, ou d'excentricité . Elle est aux hyperboles générales ce qu'est le cercle aux ellipses.

En voici diverses définitions géométriques :
 
1) Définition conique :
L'hyperbole équilatère est la section d'un cône de révolution équilatère (angle au sommet de 90°) par un plan strictement parallèle à l'axe du cône.

2) Définition bifocale :
L'hyperbole équilatère est le lieu d'un point dont la différence des distances à deux points fixes F et F' est égale à  fois la distance entre ces deux points (voir líéquation bipolaire).

3) Définition par foyer et directrice :
L'hyperbole équilatère est le lieu díun point M tels que H est le projeté de M sur la directrice (D).

4) Définition cissoïdale  :
   Étant donné deux droites perpendiculaires et un point A en dehors de ces droites, le lieu des points M tels que P et Q sont les deux points d'intersection avec les asymptotes d'une droite variable passant par A, est l'hyperbole passant par A et d'asymptotes les deux droites de départ  (on en déduit facilement que líhyperbole est la cissoïdale de deux droites perpendiculaires).

5) Définition angulaire (cas particulier de stelloïde) :
 
Étant donnés deux points distincts A et B, le lieu des points M tels que les bissectrices des droites (MA) et (MB) aient des directions constantes est l'hyperbole équilatère passant par A et B dont les asymptotes passent par le milieu de [AB] et sont parallèles à ces directions constantes.
Interprétation mécanique : une corde est attachée à une extrémité à un point fixe A, passe par une poulie B et est maintenue à la main à l'autre extrémité. Un seau est suspendu à la corde par une poulie entre A et B.
Le seau décrit une portion d'hyperbole équilatère. 

La courbe du seau d'eau : comparer avec la courbe du danseur de corde.

6) Définition strophoïdale :
 
L'hyperbole équilatère est la courbe strophoïdale d'une droite (D) relativement à un point O en dehors de (D) et un point A situé à l'infini sur une perpendiculaire à (D).

7) Définition comme enveloppe d'un triangle d'aire constante.
 
L'hyperbole équilatère est l'enveloppe d'un segment [AB] dont les extrémités se déplacent sur les axes orthogonaux Ox et Oy de sorte que le triangle OAB orienté ait une aire constante.
Le point de contact est le milieu de [AB].

Si donc on considère un récipient cubique rempli d'un liquide coloré dont une arête reste horizontale, la trace laissée par le liquide sur les bords lorsqu'on pivotera le récipient autour de cette arête sera limitée par une hyperbole. 

Cette propriété est conservée dans le cas de deux droites non orthogonales ; l'enveloppe est une hyperbole quelconque.

La généralisation 3d de ce problème donne la surface xyz = cte.


 
Figure montrant les 4 hyperboles équilatères  et , accompagnées du cercle .

 

Voir aussi la chaînette conique, la trompette de Gabriel et les hyperboloïdes.
 
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© Robert FERRÉOL  2009