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HÉLICE SPHÉRIQUE
Spherical
helix, Kugelböschungslinie
![]() cas q = 5/2, k » 0,56, pente » 75% |
![]() cas q = 2/5, k » 0,17, pente » 25% |
Notion étudiée par H.J. Jonas en 1905 et
par W. Blaschke.
Voir Loria 3d p. 84 et 160. |
Paramétrisation cartésienne : soit |
Les hélices sphériques sont les hélices, autrement dit les courbes de pente constante par rapport à un plan P donné, tracées sur une sphère.
On démontre que ce sont les courbes décrites par un point d'un grand cercle de la sphère roulant sans glisser sur un cercle fixe de cette sphère, parallèle au plan P ; ce sont donc des cas particuliers de cycloïdes sphériques , ainsi que de courbes des satellites ; elles possèdent des points de rebroussement situés sur le cercle fixe et son symétrique par rapport au centre de la sphère.
La deuxième paramétrisation ci-dessus montre
que les projections sur le plan du cercle fixe sont des épicycloïdes
de paramètre q défini par |
![]() |
Les hélices sphériques sont aussi les développantes
de cône de révolution (lieux d'un point d'un plan roulant
sans glisser sur le cone) ; l'hélice ci-dessus est une développante
du cône de révolution passant par les deux cercles de roulement.
Ne pas confondre ces courbes avec les loxodromies, dont les tangentes font un angle constant, non avec un plan, mais avec les méridiens, ni avec les clélies. |
![]() Hélice sphérique de pente 10%0 ;
elle ressemble à une loxodromie, mais contrairement à celles-ci,
les points extrêmes ne sont pas des points asymptotes.
|
Voir aussi les courbes de précession
constante, dont les indicatrices de courbure sont des hélices
sphériques.
![]() ![]() |
![]() ![]() |
Modèle d'hélice sphérique obtenue comme développante
de cône.
Il s'agit d'une hélice effectuant un tour entre deux rebroussements, donc du cas q = 1 (la projection horizontale est une cardioïde) ; donc cercle sommital de rayon R/3, pente |
Cet escalier sur une sphère de stockage a des marches de hauteur
constante, donc suit une hélice sphérique.
Il s'agit ici d'une hélice effectuant un demi-tour entre deux rebroussements, donc du cas q = 2 (la projection horizontale est une néphroïde) ; donc cercle sommital de rayon R/2, pente |
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© Robert FERRÉOL 2017