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HIPPOPÈDE (D'EUDOXE)
Horse
fetter, Pferdefessel
Du grec "Hippos" cheval et "pédè"
entrave (une entrave de cheval grecque avait cette forme de huit).
Eudoxe de Cnide (406 - 355 avant J.C.) : astronome, mathématicien et philosophe grec. Autre nom : lemniscate sphérique. |
Équation cartésienne : Paramétrisation cartésienne : Biquadratique (quartique de première espèce) rationnelle. |
L'hippopède d'Eudoxe est l'intersection d'une sphère
avec un cylindre de révolution tangent ; c'est donc une courbe à
la fois sphérique et cylindrique.
Lorsque a = R/2, on obtient la courbe de Viviani. Mais en fait, l'examen de la paramétrisation cartésienne montre que les hippopèdes d'Eudoxe sont toutes affines entre elles, et donc en particulier, images par une affinité de la courbe de Viviani. |
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Les projections sur les plans xOy, xOz et
yOz
sont respectivement un cercle, un arc de parabole et une lemniscate
de Gerono, d'équation : .
L'hippopède possède la construction dynamique
suivante, correspondant à la définition historique d'Eudoxe
:
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L'hippopède est le lieu d'un point d'un grand
cercle incliné d'un angle a sur le plan
de l'équateur tournant à vitesse constante autour de l'axe
des pôles, le point parcourant le grand cercle à la même
vitesse, en sens inverse ; le rayon du cylindre dans lequel est inscrit
l'hippopède vaut alors On aboutit par cette construction à la paramétrisation : |
L'hippopède est donc un cas particulier de courbe
des satellites, correspondant aux satellites géosynchrones (ayant
une période de révolution d'un jour).
Voici par exemple la projection sur un planisphère de la trajectoire apparente du satellite Syncom 2. (merci à Thierry Pré) |
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Ne pas confondre avec l'hippopède de Proclus, aussi nommée courbe de Booth.
Comparer avec la bicylindrique
obtenue avec deux cylindres tangents.
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© Robert FERRÉOL 2009