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CUBE
Cube (or hexahedron), Würfel (oder Kubus)

Etymologie Du grec Kubos : dé
Définitions un cube est
       - un polyèdre à faces carrées
       - un hexaèdre régulier
       - un parallélépipède rectangle à arêtes de même longueur
       - un prisme droit à base carrée et faces latérales carrées.
       - un antidiamant d'ordre 3 à sommets réguliers et angles dièdres égaux.
Famille polyèdres réguliers
également : paralléloèdres
Dual octaèdre régulier ¬ dual polaire du cube par rapport à sa sphère circonscrite
Faces 6 carrés
Sommets 8 sommets de degré 3, de code de Schläfli 43; angle solidesr
Arêtes 12 arêtes de longueur a ; angle dièdre :  rd
Patrons
Graphe des arêtes
Voir d'autres représentations sur mathworld.
Diamètres sphère inscrite : a ; intersphère (tangente aux arêtes) : a Ö2 ; sphère circonscrite : a Ö3
Mensurations volume : a3       aire : 6 a²    rapport volume/(volume de la sphère circonscrite) : 37%
coefficient isopérimétrique : 
Coordonnées 
des sommets
avec 
2 sommets étant reliés par une arête ss'ils ont deux coordonnées en commun.
Plans de symétrie 3 parallèles aux faces, 6 contenant des arêtes opposées
Axes de rotation
3 passant par les milieux de faces opposées (2 rotations d'ordre 4 et une d'ordre 2 par axe)
4 passant par des sommets opposés (2 rotations d'ordre 3  par axe)
Remarquer cette vue hexagonale d'un cube !
6 passant par les milieux d'arêtes opposées (1 rotation d'ordre 2  par axe)
Groupe des isométries ordre 48 : 24 rotations (l'identité, 6 quarts de tour, 8 tiers de tour, 9 demi-tours) 
et 24 antirotations (produits des précédentes par la symétrie de centre O, dont 9 réflexions)
Le sous-groupe des 24 rotations est isomorphe à S4 (action simple et transitive sur les 4 diagonales).
Pavage le cube est le seul polyèdre régulier pavant l'espace 
Polyèdres dérivés par troncature forte : cuboctaèdre ; par troncature faible : cube tronqué
par chanfreinage : rhombicuboctaèdre ; par chanfreinage fort : cuboctaèdre tronqué ;
par adoucissement : cube adouci ;  par augmentation : dodécaèdre régulier, dodécaèdre rhombique, tetraki-hexaèdre.
Avatar le cube de Sierpinski.

 
Le cube est un tétraèdre tronqué aux arêtes

 

Bien que le cube soit un polyèdre régulier, il ne donne pas la réponse au problème des dictateurs ennemis dans le cas n = 8, problème demandant comment sont disposées sur une sphère n calottes sphériques identiques (les empires de chaque dicateur) de taille maximale et ne se chevauchant pas.

La répartition fournie par les 8 calottes identiques maximales centrées au sommet d'un cube n'est pas optimale (on voit bien, figure supérieure, qu'il y a encore beaucoup de bleu !). 

La réponse optimale est donnée par l'antiprisme à base carrée et faces régulières.

Source : Marcel Berger, pour la Science 176, p. 72 et dossier Pour la Science 41 p. 40.


 
Ci-contre, vue du polyèdre composé formé du cube et de l'octaèdre dual polaire par rapport à la sphère tangente aux arêtes  ; la partie commune est le cuboctaèdre. L'enveloppe des sommets est le dodécaèdre rhombique.

Voir aussi l'hypercube.

Beau lien : mathematische-basteleien.de/cube.htm
 

Cristal cubique de fluorite

Réseau cubique tentaculaire dans "la fièvre d'Urbicande" de Schuiten et Peeters


 
L'atomium de Bruxelles a une forme cubique. Mais le cube étant posé sur sa pointe, on voit un hexagone.

 
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© Robert FERRÉOL 2009