Courbe étudiée et ainsi dénomée par Jean Bernoulli en 1718 et Euler en 1736. Du grec brakhisto "le plus court" (s'écrit donc avec un i et non un y) et chronos "temps".

 

Équation fonctionnelle :  minimal. Équation différentielle (condition de Lagrange) : . Mouvement : , où , et où   est défini par . Temps de parcours :  où Q est défini ci-dessus . Temps en ligne droite :  ; temps par le chemin coudé :  ().

Une courbe brachistochrone est une courbe sur laquelle doit glisser sans frottement et sans vitesse initiale, un point matériel pesant placé dans un champ de pesanteur uniforme de sorte que le temps de parcours  soit minimal parmi toutes les courbes joignant deux points O et A fixés (ici A(a, -b)).

Réponse pour a > 0 (résultat trouvé en même temps par Leibniz, Newton, L'Hospital, Jean et Jacques Bernoulli) : un arc de cycloïde commençant avec une tangente verticale.

Il est remarquable que si la pente b/a entre O et A est inférieure à 2/p » 63%, correspondant à un angle de »32 ° avec l'horizontale, la courbe la plus rapide possède, comme dans la figure ci-dessus, une portion qui remonte !

Ceci vaut à la limite si les points O et A sont à la même altitude, auquel cas la ligne droite donnerait un temps de parcours infini.
Pour , on trouve un temps de descente de  pour la cycloïde, de pour un arc de cercle, de   pour la ligne droite, et  pour une chute libre suivie d'un parcours horizontal (qui est donc battu par la ligne droite).
 

Les concepteurs de rampes de skate savent-ils que la rampe la plus rapide a une forme de cycloïde ?

Le problème se généralise à des courbes brachistochrones tracées sur des surfaces.

Pour d'autres courbes de mouvement d'un point matériel dans un champ de pesanteur soumises à certaines conditions, voir à isochrone, tautochrone, synchrone, synodale, et courbe à réaction constante.
 
 

courbe suivante

courbe précédente

courbes 2D

courbes 3D

surfaces

fractals

polyèdres

© Robert FERRÉOL, Jacques MANDONNET 2000