Les épicycloïdes sont les courbes décrites par un point d'un cercle (C) roulant sans glisser sur un cercle de base (C₀), les disques ouverts de frontières (C) et (C₀) étant disjoints ; ce sont donc des cas particuliers d'épitrochoïdes.

Paramétrisation complexe :  où a est le rayon du cercle de base et  celui du cercle roulant. Paramétrisation cartésienne : . Abscisse curviligne : 1)  2) . Angle tangentiel cartésien : . Rayon de courbure : . Équation intrinsèque 1 : . ( est l’équation d’une épicycloïde si et seulement si d > c, avec ) Équation intrinsèque 2 : . ( est l'équation d'une épicycloïde si et seulement si |B| < 1). Équation podaire : .  Equation de la tangente en M(t) : . Longueur d’une arche : . Aire de la surface située entre l'arche et les deux tangentes à ses extrémités : . Pour q entier, la longueur totale vaut donc  fois la longueur du cercle de base, et  l’aire totale vaut  fois l’aire de ce cercle.

Les épicycloïdes sont des courbes formées d'arcs isométriques (les arches) se rejoignant en des points de rebroussements (obtenus pour ) en nombre égal au numérateur du nombre q si q est rationnel et en nombre infini sinon.
Lorsque q est rationnel, , la courbe est algébrique rationnelle (prendre comme  paramètre ).
Elle ressemble à un polygone régulier, croisé si m ³ 2, à n sommets joints de m en m par des courbes situées à l’extérieur du cercle (C₀).

Lorsque l'on parle d'épicycloïde à n rebroussements (E_n), on considère le cas q = n, c'est-à-dire celui où il n'y a pas de croisement.
 

q = 1 : cardioïde	q  = 2 : néphroïde.	q = 3	q = 4	q = 5
q = 1/2 :	q = 3/2	q = 5/2	q = 7/2	q = 9/2
q  = 1/3	q = 2/3	q = 4/3	q = 5/3	q = 7/3
q = 1/4	q = 3/4	q = 5/4	q = 7/4	q = 9/4
q = 1/5	q = 2/5	q = 3/5	q = 4/5	q = 6/5

L'épicycloïde est aussi la courbe décrite par un point d'un cercle de rayon  () roulant sans glisser sur (C₀) en le contenant (ceci constitue la double génération de l'épicycloïde : voir à péricycloïde).

L’épicycloïde est l'enveloppe d'un diamètre d'un cercle de rayon double de celui de (C) roulant sans glisser sur et extérieurement à (C₀).

C'est aussi l'enveloppe d'une corde (PQ) du cercle de rayon a + 2b (cercle des sommets de l'épicycloïde), P et Q parcourant ce cercle dans le même sens et avec des vitesses constantes dans le rapport q + 1 (ceci constitue la génération dite de Cremona).

C’est enfin l’antipodaire par rapport à O de la rosace : .
Sa développée est sa propre image par la similitude directe de centre O, de rapport , et d’angle .

On peut aussi définir les épicycloïdes comme les trajectoires d’un mouvement somme de deux mouvements circulaires uniformes de même vitesse et de mêmes sens (de paramétrisation complexe :  avec ).

Les épicycloïdes sont des cas particuliers de courbe cycloïdale, avec les hypocycloïdes et la cycloïde.

Les épicycloïdes sont pour finir aussi des projections d'hélices sphériques.

Voir aussi en 3D les épicycloïdes  sphériques.
 
 

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© Robert FERRÉOL, Jacques MANDONNET 2001