CYCLOÏDE
Cycloid, Zykloide
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CYCLOÏDE
Cycloid, Zykloide
| Courbe étudiée par Charles Bouvelles en
1501, Mersenne et Galilée en 1599, Roberval en 1634, Toricelli
en 1644 etc...! Cette courbe n'était donc pas connue des Grecs.
Du grec kuklos : cercle, roue ; nom donné par Galilée. |
Paramétrisation cartésienne : 
(voir ici le calcul).
Autre paramétrisation : 
(voir à brachistochrone
de longueur fixée).
Paramétrisation complexe :  .
Équation cartésienne :  .
Équation différentielle : 
ou  , elle-même
intégrale première de l'équation :  ,
qui traduit le fait que RC
= -2N (où N est la "normale"
).
Est également solution de 
et de  .
Abscisse curviligne : 1) 
ou 2)  .
Angle tangentiel cartésien : 1) 
ou 2) 
.
Rayon de courbure : 1) 
ou 2) 
.
Équation intrinsèque 1 (forme 1)):  .
Équation intrinsèque 2 (forme 1)) :  .
Longueur d'une arche : 8R ; aire : 3pR2. |
La cycloïde est la courbe décrite par un point d'un cercle de rayon R roulant sans glisser sur une droite (D) (ici l’axe Ox) ; c’est donc un cas particulier de roulette.
On peut aussi définir la cycloïde comme la
trajectoire d’un mouvement composé d’un mouvement rectiligne uniforme
et d’un mouvement circulaire uniforme de même vitesse (de paramétrisation
complexe : 
) ; autrement
dit, si vous avancez régulièrement le long d’un tableau tenant
une craie à la main d’un mouvement circulaire régulier de
même vitesse que votre mouvement propre (d’un sens ou d’un autre),
vous tracez une cycloïde (sans la condition d’égalité
des vitesses, on obtient une trochoïde).
La cycloïde est un cas particulier de courbe
cycloïdale, avec les épicycloïdes
et les hypocycloïdes
; c'est aussi une courbe de Ribaucour.
| La cycloïde peut aussi être définie par le fait qu'étant donné deux droites parallèles, les deux points I et N d'intersection de la tangente et de la normale avec ces deux droites sont tels que la droite (IN) reste orthogonale à ces deux droites. |  |
La développée de la cycloïde est une cycloïde translatée :
La développante
d'une cycloïde passant par l'un des sommets est donc aussi une cycloïde
translatée.
| La cycloïde est donc en quelque sorte un point fixe de l'application développante, et l'on a le théorème de "convergence" associé ci-contre : | Si on part d'un arc compact D0 de classe C2 sans point d'inflexion et dont les tangentes aux extrémités A = A0 et B = B0 sont orthogonales, sa développante D1 qui passe par A aura les mêmes propriétés : soit A1= A et B1 ses extrémités. On considère la développante D2 de D1 qui passe par B1, et on continue le processus. On ramène toutes les courbes Dnobtenues dans un même rectangle par des translations adéquates de direction la tangente en B à D, de façon que D2n+1 ait A pour origine et que D2n ait B pour origine. Alors D2n+1 et D2n tendent uniformément vers deux demi-arches de cycloïde droite. |
La développante passant par le point de rebroussement
est, elle, la courbe (parallèle à une cycloïde) de paramétrisation
:  .
Il se trouve que c'est aussi, à homothétie près, la roulette du point de rebroussement d'une cardioïde roulant sur et à l'extérieur d'une cycloïde de même longeur ! (Si la cardioïde roule à l'intérieur, la roulette est rectiligne) |
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La caustique au soleil pour des rayons perpendiculaires à l'axe de roulement d'une cycloïde est une cycloïde image dans une homothétie de rapport 1/2.
La radiale de la cycloïde est un cercle de rayon 2R :
Sa courbe de Mannheim est également un cercle, de rayon 4R ; c'est cette propriété qui est sous-jacente à cette étrange courbure d'un disque en coquille Saint Jacques à bord cycloïdique, animation due à Gérard Lavau sur une idée de Samuel Boureau.
La roulette de la pointe d'une cardioïde roulant sur une cycloïde de même longueur est rectiligne :
avec 
= vitesse moyenne suivant Ox et 
.
Voir d'autres propriétés remarquables de la cycloïde à brachistochrone, tautochrone, isochrone, caustique et radiale.
Voir aussi la surface
minimale de Catalan, seule surface minimale ayant la cycloïde
comme géodésique.
| Démonstration due à Roberval (1636) du
fait que l'aire d'une arche de cycloïde est égale à
celle de 3 disques générateurs :
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© Robert FERRÉOL,
Jacques MANDONNET 2012
