Ovale de Descartes

OVALE DE DESCARTES
Cartesian oval, kartesisches Oval

Courbe étudiée par Descartes en 1637, Newton, Chasles et Christoph Soland en 1997.
René Descartes (1596-1650) : philosophe, mathématicien et physicien français.
Autres noms : courbe aplanétique, optoïde.
Texte de problème.

Un ovale de Descartes est un lieu de points M dont les distances MF et MF' à deux points fixes sont liés par une relation du type : , avec (les cas limites de l'ellipse et de l'hyperbole sont donc exclus).
REM : La courbe est non vide ssi et .

Ci-contre est présentée une construction mécanique de l'ovale de Descartes attribuée à Maxwell, dans le cas où v/u = 2, construction qui se généralise (théoriquement !), à condition d'enrouler suffisamment le fil autour des poulies, aux cas où v/u est un rationnel positif.

Autre construction mécanique, due à J. Hammond (1878).
Les deux poulies sont solidaires, leur axe commun a une position arbitraire dans le plan de la figure, seul le rapport de leur rayon égal à v/u importe. Les foyers choisis, on enroule deux fils, en sens inverse, sur les poulies. La pointe du crayon, fixe par rapport au fil, est fixée à l'autre extrémité de chacun des deux fils.

Une construction dans l'espace : les ovales de Descartes sont les projections des intersections de deux cônes de révolution d’axes parallèles sur un plan perpendiculaire à ces axes (théorème de Quételet).
Plus précisément, le cône et le cône ont une intersection qui se projette en les ovales de Descartes :.

Cette construction est à l'origine d'une construction plane, dûe à Chasles, dont on peut oublier l'origine 3D ; coupons les 2 cônes par un plan (P₀) perpendiculaire aux axes, ce qui donne deux cercles (C) et (C') de centres F et F' ; la droite joignant les sommets S et S' des deux cônes coupe (P₀) en X, aligné avec F et F' ; tout plan (P) passant par F et F' coupe (P₀) en une droite (D) passant par X ; ce plan (P) coupe les deux cônes suivant deux génératrices, lesquelles se croisent en un point de l'intersection des deux cônes ; en projection, la droite joignant F à un point d'intersection de (C) avec (D) et la droite joignant F' à un point d'intersection de (C') avec (D) se coupent en un point M de l'ovale de Descartes projection de l'intersection des deux cônes.
Quand la droite (D) pivote autour de X, la construction précédente donne 4 points M décrivant chacun un demi ovale de Descartes.
On obtient ainsi deux ovales de Descartes conjugués.
Origine : [Zwikker, p. 124]

La tangente en M à l’ovale est orthogonale au vecteur .
Si donc et sont les angles que font avec la normale en M les segments MF et MF', on a la relation .
On en déduit la propriété qui a motivé l’étude de ces courbes par Descartes :
si la partie externe d’un ovale de Descartes contenant F est d’indice de réfraction n₁ et l’interne contenant F' d’indice n₂ avec , les rayons lumineux issus de F et réfractés par l’ovale convergent vers F' (à condition que [MF] soit entièrement à l’extérieur et [MF’] à l’intérieur) ; de là vient le nom de courbe aplanétique.
On retrouve aussi cette propriété par le fait que le chemin optique est constant.

Figure avec l'ovale MF+3MF'=2FF'.
On a donc ici .

Plus généralement, la caustique par réfraction de l'ovale pour le point lumineux F et le rapport u/v est le foyer F' : les ovales de Descartes sont les courbes dont une caustique par réfraction est réduite à un point.

L'ovale de Descartes complet associé est l'ensemble d'équation bipolaire : .
Parmi les 4 courbes obtenues par ces doubles signes, seules deux sont non vides, et les deux autres sont dits conjugués.
On démontre que l'ovale de Descartes possède un troisième foyer, aligné avec les deux premiers, tel que les équations bipolaires dans les deux nouveaux bipôles obtenus sont encore du même type.
Les relations entre ces foyers et les équations sont données ci-dessous. Nous avons renommé les foyers "A, B, C", par parallélisme avec ; ce sont ces notations que nous utiliserons dorénavant.

Si sont les trois foyers de l'ovale complet, avec :
Équations bipolaires équivalentes de l'ovale extérieur : .
Équations bipolaires équivalentes de l'ovale intérieur : .

Équation cartésienne de l'ovale complet dans le repère : , où sont les fonctions symétriques élémentaires de .
Abscisses des 4 sommets : (ovale extérieur) et (ovale intérieur).
Équation polaire de l'ovale complet dans le repère :
où , , .
Équations similaires obtenues par permutation de dans les repères et .
Équation cartésienne dans : .
Quartique bicirculaire, elliptique dans le cas d'un ovale véritable.

L'équation polaire montre que les ovales de Descartes complets sont anallagmatiques : ce sont des cycliques de déférente un cercle, autrement dit des cartésiennes. Plus précisément, ce sont les cartésiennes dont les trois foyers réels sont alignés.
Pour le foyer A, le cercle déférent est le cercle de centre O et de rayon où , le cercle directeur, celui de centre A et de rayon (pour les deux autres foyers, les définitions sont obtenues par permutation).

Lorsque les trois foyers sont distincts, l'ovale est dit véritable. Il possède alors trois définitions cycliques distinctes :

Vue des 3 générations cycliques d'un même ovale de Descartes complet ; les cercles noirs sont centrés sur le cercle déférent (en bleu), lui-même centré en O, et sont orthogonaux (ou pseudo-orthogonaux pour celui de droite) au cercle directeur (en vert), centré en l'un des foyers A, B ou C ; on a pris ici, a = 1, b = 2, g = 3.

Les six cercles directeurs et déférents.

Lorsque les 3 foyers sont confondus (), l'ovale est une cardioïde (mais il perd ses définitions bipolaires).
Lorsque seuls deux foyers sont confondus sur les 3, on obtient un limaçon de Pascal :
- lorsque A = B, on obtient le limaçon elliptique : (dans ), d'équation bipolaire : , qui possède deux générations cycliques, dont une seule est à puissance nulle.

génération à puissance nulle (cercles passant par A et centrés sur le déférent)

- lorsque B = C, on obtient le limaçon hyperbolique : (dans ), d'équation bipolaire : pour la boucle extérieure, et pour la boucle intérieure, qui possède deux générations cycliques, dont une seule est à puissance nulle.

génération à puissance nulle (cercles passant par B et centrés sur le déférent)

Les ovales de Descartes complets peuvent aussi être définis comme les anticaustiques de cercle (les limaçons de Pascal étant obtenus lorsque la source lumineuse est sur le cercle). Les développées d'ovales de Descartes complets sont donc les caustiques par réfraction de cercle.

Voici des lieux géométriques qui donnent des ovales de Descartes :

1) Lieu d'un point dont les "distances algébriques" à deux cercles fixes de rayons distincts sont dans un rapport constant différent de ± 1 (auquel cas on obtiendrait les coniques bifocales) ; la "distance algébrique" d'un point à un cercle est sa distance au centre moins le rayon. Les ovales de Descartes sont donc les lignes de partage de deux cercles.

Lignes de partage de deux cercles, définies par . En vert pour k > 1, en bleu pour 0 < k < 1 , en rouge pour k = 1 (branche d'hyperbole, médiatrice des deux cercles).

2) Étant donnés 3 points alignés F, G, H, lieu du sommet M d'un triangle LMN dont les côtés (NM), (ML), (LN) contiennent respectivement F,G,H, ([ML] et [MN] ayant des longueurs fixées (appliquer le théorème de Ménélaüs dans le triangle MFG).

On retrouve aussi les ovales de Descartes dans le système Bélidor de pont-levis.

Encore une propriété de ces courbes très riches : Les images des droites parallèles aux axes par une fonction elliptique P de Weierstrass de périodes w₁ réelle et w₂ imaginaire pure sont des ovales de Descartes.

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