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COURBE ISOTÈLE
Isotel curve, isotele Kurve


Notion étudiée par Lepiney en 1909.
Du grec iso "même" et têle "loin".

 
La courbe isotèle d'une courbe plane  par rapport à un point O est le lieu des points situés à égale distance de O et de , autrement dit, la courbe d'équidistance de  et de O. Si M0 décrit , la courbe isotèle est donc le lieu des points d'intersection de la médiatrice de [OM0] avec la normale en M0 et c'est aussi l'enveloppe de cette médiatrice ; c'est donc aussi le lieu des centres des cercles passant par O et tangents à la courbe  ; l'isotèle n'est donc enfin autre que la courbe dont la courbe de départ est l'orthotomique, autrement dit son "anti-orthotomique".
L'orthotomique étant l'image de la podaire dans une homothétie de centre et de rapport 2, l'isotèle n'est donc autre que l'image de l'antipodaire dans une homothétie de centre O et de rapport 1/2 ; la notion est donc tombée en désuétude.

Conclusion : à homothétie près, isotèle = antipodaire = orthocaustique.

Exemples :

    - la parabole est l'isotèle de sa directrice par rapport à son foyer.

    - une conique à centre est l'isotèle du cercle directeur centré en un foyer par rapport à l'autre foyer.

    - la courbe isotèle de l'ellipse par rapport à son centre est la courbe de Talbot.

Pour d'autres exemples, on se reportera à l'article antipodaire.
 
L'isotèle par rapport à O d'une courbe de largeur constante possède une propriété remarquable découverte par Euler (Nova Acta Eruditorum, 1746) : tout rayon issu de O réfléchi deux fois par l'isotèle repasse par O. Euler désigne par catoptrice une courbe ayant cette propriété.
Le lecteur constatera sur la figure que le rayon issu de O se réfléchit bien en M suivant MN, puis en N suivant NO. De plus, comme OM+MN+NO=M0M+MN+NN0=M0N0, la distance parcourue par le rayon OMNO est constante égale à la largeur de la courbe de départ.
Le cas de l'isotèle d'un cercle, qui est une ellipse de foyer O est un cas évident de cette propriété puisque tout rayon issu d'un foyer se réfléchit en un rayon passant par l'autre foyer.

 
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© Robert FERRÉOL  2020