La courbe d'équation cartésienne  est lisse dans le plan affine réel (resp complexe) si le système  est sans solution réelle (resp. complexe). Pour une courbe algébrique de degré n, posant , la courbe est lisse dans le plan projectif réel (resp. complexe) si le système  ne possède pas d'autre solution réelle (resp. complexe) que (0, 0, 0).

Une courbe est dite lisse si elle ne possède pas de point singulier, autrement dit si elle possède une tangente (unique) en tout point.
Il faut pour cela préciser si on considère la courbe dans le plan affine réel, le plan projectif réel ou le plan projectif complexe, les conditions devenant de plus en plus fortes. Dans le dernier cas et pour une courbe algébrique, cette notion se confond avec celle de courbe de genre maximum.

Exemples
   - courbe de degré n lisse dans le plan projectif complexe : la courbe de Lamé d’équation cartésienne  .
    - courbe lisse dans le plan affine réel, mais pas dans le plan projectif : la cubique d'Agnesi : , d'équation homogène  (point singulier (0, 1, 0)).
    - une courbe d'équation y = f(x)  , avec f de classe C¹, est toujours lisse dans le plan affine.
    - une conique est lisse dans le plan projectif complexe si et seulement si elle est propre (ssi elle est projectivement équivalente à la courbe ).
    - une cubique est lisse ssi ????
 
 

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© Robert FERRÉOL   2003