Cubique d'Agnesi

CUBIQUE D'AGNESI
Witch of Agnesi, Versiera

Courbe étudiée par Pierre de Fermat en 1630 puis par Guido Grandi en 1703 et par Maria Gaetana Agnesi en 1748.
Autre nom : versiera (= diablesse en italien).
Explication de ces diableries :
d’après Loria, versiera est issu du latin versoria (signifiant "corde servant à virer de bord", du verbe vertere, "tourner") ; ce nom a été donné par Grandi d’après l’expression latine : sinus versus. Pour comprendre comment le sens primitif de tourner s’est transformé en sorcellerie, il faut peut-être regarder le mot adversaire, dont le correspondant italien est avversario.
Toujours est-il que maintenant les anglophones appellent cette courbe : witch (sorcière) of Agnesi.
Maria Gaetana Agnesi : mathématicienne italienne (1718-1799) :

Équation cartésienne :, soit .
Cubique rationnelle à point isolé (situé à l'infini dans la direction de Oy).
Paramétrisation cartésienne : .
Aire du domaine délimité par la courbe et son asymptote : (soit 4 fois celle du cercle (C) ci-dessous).
Volume du solide engendré par la révolution de la courbe autour de son asymptote : .

La cubique d'Agnesi est l'hyperbolisme du cercle par rapport à l'un de ses points et la tangente diamétralement opposée à ce point.
Ici, le cercle est le cercle de diamètre [OA], avec A(0, a).
C'est donc un cas particulier d'oeuf de Granville.

Comme l'anguinée, c'est une projection de l'horoptère.

L'équation cartésienne montre que la cubique d'Agnesi est un cas particulier d'hyperbole cubique.
La transformation homographique : transforme donc la cubique d'Agnesi : en la parabole divergente : qui a son point isolé en O ; ceci est une illustration du théorème de Newton ramenant toutes les cubiques aux paraboles divergentes par perspective.
Dans la figure ci-contre, nous avons utilisé au lieu de pour plus de lisibilité.

La perspective d'une cubique d'Agnesi est une parabole divergente.
La cubique d'Agnesi (en rouge en haut) est projectivement
équivalente à une parabole divergente (en rouge en bas).

Il ne faut pas confondre la cubique d'Agnesi avec la courbe de Gauss, qui est transcendante !

Par contre, une autre cubique (en vert ci-contre) ressemble aussi à la cubique d'Agnesi :
Equation cartésienne : (au lieu de )
Equation polaire : .
Cette courbe est aussi un cas particulier d'hyperbole cubique, mais elle n'est pas rationnelle.

La cubique d'Agnesi est aussi une directrice du conoïde de Plücker.

Comparer cette courbe avec la visiera et la quartique de Külp.

La cubique d'Agnesi est l'hyperbolisme du cercle par rapport à l'un de ses points et la tangente diamétralement opposée à ce point. Ici, le cercle est le cercle de diamètre [OA], avec A(0, a). C'est donc un cas particulier d'oeuf de Granville.
Comme l'anguinée, c'est une projection de l'horoptère.
L'équation cartésienne montre que la cubique d'Agnesi est un cas particulier d'hyperbole cubique. La transformation homographique : transforme donc la cubique d'Agnesi : en la parabole divergente : qui a son point isolé en O ; ceci est une illustration du théorème de Newton ramenant toutes les cubiques aux paraboles divergentes par perspective. Dans la figure ci-contre, nous avons utilisé au lieu de pour plus de lisibilité.	La perspective d'une cubique d'Agnesi est une parabole divergente. La cubique d'Agnesi (en rouge en haut) est projectivement équivalente à une parabole divergente (en rouge en bas).
Il ne faut pas confondre la cubique d'Agnesi avec la courbe de Gauss, qui est transcendante !
Par contre, une autre cubique (en vert ci-contre) ressemble aussi à la cubique d'Agnesi : Equation cartésienne : (au lieu de ) Equation polaire : . Cette courbe est aussi un cas particulier d'hyperbole cubique, mais elle n'est pas rationnelle.