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SPIRIQUE DE PERSÉE
Perseus' spiric curve, Perseussche spirische Kurve

Persée, IIe siècle avant J.C. : savant grec.

 
Équation cartésienne réduite :  avec A > B, soit .
Quartique bicirculaire, rationnelle si C = 0, n'ayant de points réels que si .
Équation polaire : .

Les spiriques de Persée sont les quartiques bicirculaires ayant un centre de symétrie. Ce sont les donc les cycliques dont la déférente est une conique à centre, par rapport au centre de cette conique,  autrement dit les enveloppes de cercles dont le centre décrit une conique à centre, et tels que le centre de la conique a une puissance constante par rapport à ces cercles.
 

Cas 0 < B < A fixés , C variable.
les courbes à l'intérieur des deux cercles, dans les parties droite et gauche, ne sont pas des sections planes de tore réel.

Cas B < 0 < A fixés, C variable.

Historiquement ces courbes ont été définies comme sections d'un tore par un plan parallèle à son axe ; mais pour obtenir toutes les courbes réelles données ci-dessus, il faut accepter de considérer des tores complexes.
Pour un tore de centre O, d'axe Oz, de rayons majeurs et mineurs a et b, coupé par le plan parallèle à Oz situé à une distance d de O, on obtient dans un repère d’origine le projeté de O sur ce plan l'équation cartésienne ci-dessus avec : .
Ceci provient de l'équation :  de ces courbes.

On constate alors que le tore ci-dessus n'est réel que si .
 

Spiriques de Persée de tore ouvert

Spiriques de Persée de tore croisé

Lorsque , soit db (distance du plan à l'axe égale au rayon mineur), on obtient les ovales de Cassini, qui se réduisent à la lemniscate de Bernoulli lorsque  C = 0, soit a  = 2 b.
Lorsque C = 0, soit  (plan tangent intérieurement au tore), on obtient les courbes de Booth (ou hippopèdes de Proclus), qui se réduisent également à la lemniscate de Bernoulli lorsque a  = 2 b.

Le cas limite A = B (cas où le tore est réduit à une sphère) donne des cercles.

Les spiriques de Persée sont aussi les isoptiques des coniques à centre.
 
 
Photo de M. Konieczka et Mme Gautherin, laboratoire de Mécanique du Département de Génie Mécanique de l'ENS de Cachan
Disque en matière biréfringente chargé diamétralement et observé en lumière monochromatique polarisée. Les lignes noires - les isochromatiques - sont les lieux des points pour lesquels la différence des 2 contraintes principales est constante.

 
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© Robert FERRÉOL, Jacques MANDONNET 2001