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TORE (NOTION GÉOMÉTRIQUE)
Torus, Torus (oder Ringfläche)
Tore ouvertTore à trou nulTore croisé

Du latin torus "coussin, bourrelet".
Appellations imagées : chambre à air, bouée etc...

 
Équation cylindrique :  (avec  a = rayon majeur, b = rayon mineur)
Paramétrisation torique : .
Paramétrisation cartésienne où les lignes de coordonnées sont les cercles méridiens et les cercles parallèles : .
Paramétrisation cartésienne où les lignes de coordonnées sont les cercles de Villarceau et les cercles parallèles, dans le cas a > b  (e  = 1 pour une famille de cercles, -1 pour l'autre) : 
Équation cartésienne :  soit .
Surface quartique.rationnelle.
Avec la première paramétrisation :
Première forme quadratique fondamentale : .
Élément d’aire : .
Deuxième forme quadratique fondamentale : .
Courbure totale : .
Courbure moyenne : .
Volume et aire pour .

Le tore est la surface engendrée par la révolution d'un cercle (C) autour d'une droite (D) de son plan ; c'est donc un tube de diamètre constant et d'âme un cercle.
Ici (D) est l'axe Oz, b (rayon mineur du tore) le rayon de (C) et a (rayon majeur du tore) la distance de son centre à (D).
Si (D) est sécante au cercle (a £ b), on obtient un tore croisé, fermé, ou rentrant, en forme de citrouille ou de cerise (en anglais  "spindle torus") avec pour cas limites la sphère si (D) est un diamètre (a = 0), et le tore à collier nul ou à trou nul (en anglais "horn torus") si (D) est tangente au cercle (a = b).
Sinon (cas habituel a > b) on obtient un tore à trou, à collier, à gorge, ou encore ouvert , en forme de chambre à air (en anglais "ring torus").

Le tore est une surface quadruplement cerclée : hormis les méridiens (sections par les plans passant par l'axe de révolution) et les parallèles (sections par les plans orthogonaux à l'axe), il existe deux famille de cercles obtenus par les sections par les plans bitangents au tore, appelés cercles de Villarceau :
 
La bande située entre deux cercles de Villarceau voisins ressemble à un ruban de Möbius mais n'en est pas un puisqu'elle a deux bords. Sa torsion est d'un tour.

Les courbes tracés sur un tore sont les spiriques (ou courbes toriques).
Regarder en particulier les géodésiques, les asymptotiques et les loxodromies du tore.

Pour le contour de la projection d'un tore, voir à toroïde.
Les surfaces inverses du tore sont les cyclides de Dupin.
Pour un tore particulier, voir à tore de Wilmore.

Pour le tore en tant que notion topologique, voir l'entrée suivante.

Voir aussi le dôme de Bohème, et le tore de Clifford, et les tores sinusoïdaux.

Un tore avec des cercles de Villarceau, musée de l'oeuvre de Notre-Dame, Strasbourg, XVI ème siècle.
Voir aussi cette belle sculpture virtuelle


Les américains surnomment le tore ; "donut", du nom de la pâtisserie ci-contre.

Une poulie est un  demi-tore


 
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© Robert FERRÉOL , Jacques MANDONNET 2012